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solution

看到 ${\sum }_{i=1}^k{w}_{e_i}$ 的式子，就应该联想到最短路

先考虑题目的弱化版，去掉 $\text{max},\text{min}$ 的限制，变成一条路径中的一条边不要花费，一条边花费加倍，再求最短路

贪心地 $\text{djikstra}$ 跑最短路，发现是与原题对应的

设 $d{p}_{i,j,k}(j,k\in [0,1])$ 表示到 $i$ 点时，$j$ 是否加倍了一条边，$k$ 是否不要一条边花费的最短路

则有转移方程：
$$d{p}_{v,j,k}=\min (d{p}_{v,j,k},d{p}_{u,j,k}+w_{u,v})$$

$$d{p}_{v,1,k}=\min (d{p}_{v,1,k},d{p}_{u,0,k}+w_{u,v}\ast 2)$$

$$d{p}_{v,j,1}=\min (d{p}_{v,j,1},d{p}_{u,j,0})$$

最后答案为 $\min (d{p}_{i,0,0},d{p}_{i,1,1})$ 【路径可能只有一条，$\text{max},\text{min}$ 相互抵消】

实际上，也可以理解为把一个点拆成四个点后跑最短路

分别对应不同的操作，先加倍再不要，先不要再加倍

code

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
#define int long long
#define maxn 1000005
#define Pair pair < int, int >
priority_queue < Pair, vector < Pair >, greater < Pair > > q;
vector < Pair > G[maxn];
int n, m;
int dis[maxn];
bool vis[maxn];void addedge( int u, int v, int w ) { G[u].push_back( { v, w } ); }signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &m );//分层图 [1,n]表示第一层  [n+1,2n]表示使用加倍层  [2n+1,3n]表示使用不要层  [3n+1,4n]最后转移的结果层 //对应操作是加倍后不要x->x+n->x+3n 不要后加倍x->x+2n->x+3n for( int i = 1, u, v, w;i <= m;i ++ ) {scanf( "%lld %lld %lld", &u, &v, &w );addedge( u, v, w ), addedge( v, u, w );addedge( u + n, v + n, w ), addedge( v + n, u + n, w );addedge( u + n * 2, v + n * 2, w ), addedge( v + n * 2, u + n * 2, w );addedge( u + n * 3, v + n * 3, w ), addedge( v + n * 3, u + n * 3, w );addedge( u, v + n, w * 2 ), addedge( v, u + n, w * 2 ); //加倍 addedge( u, v + n * 2, 0 ), addedge( v, u + n * 2, 0 ); //不要 addedge( u + n, v + n * 3, 0 ), addedge( v + n, u + n * 3, 0 );  //加倍后不要 addedge( u + n * 2, v + n * 3, w * 2 ), addedge( v + n * 2, u + n * 3, w * 2 ); //不要后加倍 }for( int i = 1;i <= ( n << 2 );i ++ ) dis[i] = 1e18;q.push( { dis[1] = 0, 1 } );while( ! q.empty() ) {int u = q.top().second; q.pop();if( vis[u] ) continue;vis[u] = 1;for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i].first, w = G[u][i].second;if( dis[v] > dis[u] + w ) {dis[v] = dis[u] + w;q.push( { dis[v], v } );}}}for( int i = 2;i <= n;i ++ ) printf( "%lld ", min( dis[i], dis[i + n * 3] ) );return 0;
}