Lottery Gym - 102822L

题意：

有n个盒子，每个盒子有x个球，每个球的数值为2^a,问最多能组成多少数？答案mod 1e9+7

题解：

二进制思维题，浓浓的cf风格
参考题解
我们将数按照幂次进行排序（从小到大），然后对于每一位i，我们考虑下一位i+1的位置是否可以用第i位表示出来
比如：当前位是（2，5），下一位是（4，1）
当前位是有5个2²,下一位是2⁴,我们用4个2²就可以表示出2⁴，说明第i+1位可以被第i位表示。然后我们把第i位所能表示第i+1位的数量加给原本第i+1位的数量，看第i+1位是否能表示第i+2位，依次类推
如果可以被表示，我们就把第i位和第i+1位看作是一个连续的段，然后我们求出所有的段，把一个段内的所有指数a都化解成这个段内最小指数a_min，段内相加，段与段之间乘积，得到答案
例子：
n=3 (1,3),(2,3),(4,1)
我们发现他们是一个连续的段内，这个段内最小的指数为1，所有都化成这个指数。（4，1）可以化成(2,4),加上原先的(2,3)有（2，7），（2，7）又可以化成(1,14),原先就有(1,3)，再加上题木允许什么也不选，所以最后答案就是：（1 * 4 +3） * 2+3+1
这是一个段的答案，如果有多个段，答案相乘(这个不选，每一段都可以这样选)
为什么这样？我也是看了其他人的题解才知道这个方法，但是为什么这样做呢？
如果第i个位可以表示出第i+1个位，说明第i个位和第i+1个位之间的数均可以表示，所以我们可以看作一段。我们将所有指数都化成该段最低位指数a_min，有x个a_min，而其能表示的数就是t * a_min , t属于0~x，所以答案是x+1
段与段之间是独立的，无法互相表示，所以不同段的结果乘积
比如有：(2,7)和(6,3)，分别属于两个段
(2,7)所能表示的是：4，8，12…28
(6,3)所能表示的是: 64,128,192
两者可以彼此组合，且不会重复，如果会重复，按照性质就会属于一个段

另：
如果两个相邻的箱子的指数差距大于32的话，那么他们是一定不会组成相同段的，因为x最多1e9个能满足的a的差距就这么大了。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;struct Node{long long a,x;
}a[100010];
long long b[100010];
bool cmp(Node a,Node b){return a.a<b.a;
}
long long q_pow(long a,long b){long long res = 1;a %= mod;while(b){if(b & 1) res = res * a % mod;a = a * a % mod;b >>=1 ;}return res;
}
int main(){int t;scanf("%d",&t);for(int ti=1;ti<=t;ti++){int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&a[i].a,&a[i].x);sort(a+1,a+n+1,cmp);for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=a[i].x;long long ans=1;for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){r=l;// a[r+1].a-a[r].a表示指数差， (b[r]>>(a[r+1].a-a[r].a))为正说明第r位可以表示第r+1位 while(r < n && (b[r]>>(a[r+1].a-a[r].a)) && a[r+1].a - a[r].a <= 32){//从l开始求所有组成的最长连续段 b[r+1]+=b[r]>>(a[r+1].a-a[r].a); //将第r位所能表示的第r+1位的数量加到原先第r+1位的数量 r++;}for(int i=r;i>l;i--){//对段内的指数全部分解 a[i-1].x=(a[i-1].x+a[i].x*q_pow(2ll,a[i].a-a[i-1].a))%mod;}ans=ans*(a[l].x+1)%mod;}// printf("%lld\n",ans);printf("Case #%d: %lld\n",ti,ans);}
}