【无码专区2】序列划分（数学）

有std，但是没有自我实现，所以是无码专区

description

完全由数字组成的字符串 $s$ ，划分成若干段，每一段看成一个十进制的数（允许前导零）求有多少种划分方法使得相邻两个数至少一个是 $D$ 的倍数。对 $10^9+7$ 取模。

数据： $5×105,1065\times 10^5,10^6$ 级别。

我的想法

针对 $30%30\%$ 的数据： $n≤1000n\le 1000$ 【 $n = ∣ s ∣$ 】。

设 $dp_{i,0/1}:$ 划分在 $i$ 处，枚举上一个划分点 $j$ ，判断 $(j, i]$ 是否是 $D$ 的倍数的方案数。

然后直接转移，就是 $O(n^2)$ 的。

solution

对于另 $20%:(D,10)=120\%:(D,10)=1$ 就是提示正解的部分分。

记 $Si=(∑si⋅10n−i)%DS_i=(\sum_{s_i}·10^{n-i})\%D$ ，即以 $i$ 开始的后缀对应的十进制数（在取模 $D$ 的意义下)

判定条件： $s [i, j]$ 组成的数能被 $D$ 整除，当且仅当 $S_{i}=S_{j+1}$ 。

设 $dp_{i,0/1}:$ 从前往后划分到 $i$ ，当前段能否被 $D$ 整除的方案数。

如果能被 $D$ 整除，那么必须从 $Sj=Si+1,1≤j<iS_j=S_{i+1},1\le j<i$ 转移过来，否则从不被整除的 $S_j$ 转移过来。

用一个桶数组 $cnt_i:S_j=i$ 的 $dp_j$ 的和。

i.e. 在 $i$ 转移被整除的信息的时候，相当于去找 $cnt_{S_i}$ 这个桶， $dpi→cntSidp_i\rightarrow cnt_{S_i}$ 。

以上是 $(D, 10) = 1$ ，当 $(D,10)≠1(D,10)\neq 1$ 时，上述的判定条件就不完全对了。

改写 $D=D_1·D_2$ ，其中 $D_1,10)=1,D_2=2^a5^b$ 。

改写 $S_i:$ 从 $i$ 开始到结尾形成的十进制数对 $D_1$ 取模的结果。

改写判定条件： $s [i, j]$ 组成的数能被 $D$ 整除，当且仅当 $Si=Sj+1∧D2∣s[i,j]S_i=S_{j+1}\wedge D_2\Big |s[i,j]$ 。

在十进制下 $s [i, j]$ 要能被 $2, 5$ 的幂次整除，只需要看后面的若干位即可。

这里 $D≤106≈220≈59D\le 10^6\approx 2^{20}\approx 5^9$ ，所以最多看后面的 $20$ 位。

具体而言

首先判断 $s [i - 19, i]$ 组成的数是否 $D$ 的倍数。
是，再从桶里面找 $cntSi+1→dpicnt_{S_{i+1}}\rightarrow dp_i$ 。

暴力处理 $s[j,i],i−19≤j≤i−1s[j,i],i-19\le j\le i-1$ 判断是否是 $D$ 的倍数，再 $→dpi\rightarrow dp_i$ 。
对于 $j = i - 19$ 到 $i$ 中间已经包含有 $20$ 位了【 $i - (i - 19) + 1 = 20$ 】，所以 $Sj→cntS_j\rightarrow cnt$ ，可以入桶了。

参考code

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;template <typename T>
T power(T a, long long b) {T r = 1;while (b) {if (b & 1) {r *= a;}a *= a;b >>= 1;}return r;
}template <typename T>
T inverse(T a, T m) {a %= m;if (a < 0) {a += m;}T b = m, u = 0, v = 1;while (a) {T t = b / a;b -= a * t;swap(a, b);u -= v * t;swap(u, v);}if (u < 0) {u += m;}return u;
}template <int _P>
struct modnum {static constexpr int P = _P;private:int v;public:modnum() : v(0) {}modnum(long long _v) {v = _v % P;if (v < 0) {v += P;}}explicit operator int() const {return v;}bool operator==(const modnum &o) const {return v == o.v;}bool operator!=(const modnum &o) const {return v != o.v;}modnum inverse() const {return modnum(::inverse(v, P));}modnum operator-() const {return modnum(v ? P - v : 0);}modnum operator+() const {return *this;}modnum &operator++() {v++;if (v == P) {v = 0;}return *this;}modnum &operator--() {if (v == 0) {v = P;}v--;return *this;}modnum operator++(int) {modnum r = *this;++*this;return r;}modnum operator--(int) {modnum r = *this;--*this;return r;}modnum &operator+=(const modnum &o) {v += o.v;if (v >= P) {v -= P;}return *this;}modnum operator+(const modnum &o) const {return modnum(*this) += o;}modnum &operator-=(const modnum &o) {v -= o.v;if (v < 0) {v += P;}return *this;}modnum operator-(const modnum &o) const {return modnum(*this) -= o;}modnum &operator*=(const modnum &o) {v = (int) ((long long) v * o.v % P);return *this;}modnum operator*(const modnum &o) const {return modnum(*this) *= o;}modnum &operator/=(const modnum &o) {return *this *= o.inverse();}modnum operator/(const modnum &o) const {return modnum(*this) /= o;}
};template <int _P>
ostream &operator<<(ostream &out, const modnum<_P> &n) {return out << int(n);
}template <int _P>
istream &operator>>(istream &in, modnum<_P> &n) {long long _v;in >> _v;n = modnum<_P>(_v);return in;
}using num = modnum<1000000007>;int main() {freopen("division.in", "r", stdin);freopen("division.out", "w", stdout);ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);string s;int d;cin >> s >> d;int e = 1;while (d % 2 == 0) {d /= 2;e *= 2;}while (d % 5 == 0) {d /= 5;e *= 5;}int n = s.size();vector<int> a(n + 1);for (int i = 0; i < n; ++i) {a[i + 1] = (a[i] * 10 + (s[i] - '0')) % (d * e);}int inv10 = d == 1 ? 0 : inverse(10, d);vector<int> pw(n + 1);pw[0] = 1;for (int i = 0; i < n; ++i) {pw[i + 1] = (long long) pw[i] * inv10 % d;}vector<int> base(20);base[0] = 1;for (int i = 0; i + 1 < 20; ++i) {base[i + 1] = base[i] * 10 % (d * e);}vector<num> foo(n + 1), bar(n + 1);vector<num> offset_foo(d), offset_bar(d);bar[0] = 1;num pref = 0;for (int i = 0; i <= n; ++i) {foo[i] += pref;if (a[i] % e == 0) {foo[i] += offset_foo[(long long) a[i] * pw[i] % d];bar[i] += offset_bar[(long long) a[i] * pw[i] % d];}pref += bar[i];offset_foo[(long long) a[i] * pw[i] % d] -= bar[i];offset_bar[(long long) a[i] * pw[i] % d] += foo[i] + bar[i];for (int j = i + 1; j <= n && j < i + 20; ++j) {if ((a[j] - (long long) a[i] * base[j - i]) % (d * e) == 0) {foo[j] -= bar[i];bar[j] += foo[i] + bar[i];}if (a[j] % e == 0 && (long long) a[i] * pw[i] % d == (long long) a[j] * pw[j] % d) {foo[j] += bar[i];bar[j] -= foo[i] + bar[i];}}}cout << foo[n] + bar[n] << "\n";
}