看了两年前自己的博客，真的好青涩，连 markdown 都不太会用。

确实观赏感不是很好。

学习真的是慢慢积累的过程，以前感觉理解很困难的事，随着知识的增长，现在都基本悟了。

problem

POJ3709

solution

设 $f(i):$ 考虑到前 $i$ 个数，并在 $i$ 个数划分的最小花费。

可以直接列出状态转移，枚举前一段的位置 $j$ ，则 $[j+1,i]$ 要求相同，且长度要够长。

$f(i)=\min \{f(j)+sum(i)-sum(j)+a[j+1]\ast (i-j)\}(j\le i-m)$

其中 $sum(i):$ 前 $i$ 个数的和，即前缀和。

注意到题目给的性质 $a[i]$ 是单增的。

考虑两个合法转移点 $j<k$ ，且 $j$ 不优于 $k$。

即满足：$f(j)+sum(i)-sum(j)+a[j+1]\ast (i-j)\ge f(k)+sum(i)-sum(k)+a[k+1]\ast (i-k)$

化简得：$f(j)-sum(j)-a[j+1]\ast j-f(k)+sum(k)+a[k+1]\ast k\ge i\ast (a[j+1]-a[k+1])$

一般来说，斜率优化是把 $i$ 的系数简化为 $1$ 的分式形式。但是有些题目可能存在“平台”，即系数算出来为 $0$。

除法分母不能是 $0$，所以为了防止程序死掉，乘法形式才是最好选择。

但是因为不等式的存在必须要求 $a$ 的单调性，否则中途的决策点选择有不等式的变号，就不是斜率优化了。

李超树才是我们的红太阳！

单调队列存储合法转移点，每次取最优的队首转移。

对于队首的维护是非常简单的。

但斜率优化难以理解的问题就在队尾的维护，即常说的凸包维护。

网上很多就直接上凸包图像，然后从直线斜率角度入手，这里不赘述。

以此题为例，用语言化的最优点选择来尝试阐释斜率问题。

一般会有，令 $Y(j,k)=f(j)-sum(j)-a[j+1]\ast j-f(k)+sum(k)+a[k+1]\ast kX(j,k)=a[j+1]-a[k+1]$

如果只考虑两个选择点 $(x,y)$，显然当 $i$ 增大后，不等式可能存在反向的问题，即 $x$ 不一定就永远差于 $y$。【现在是要考虑 $i$ 后面点的转移，$i$ 点也是转移点】

所以是考虑三个点 $(x,y,z),x<y<z$【这对应着计算 $i$ 后，$i$ 与凸包上的最后一个点形成的直线，以及凸包最后两个点形成的直线，两个直线的维护】

因为本题是最小值，所以当 $\frac{Y(x,y)}{X(x,y)}\ge \frac{Y(y,z)}{X(y,z)}\Rightarrow Y(x,y)\cdot X(y,z)\ge Y(y,z)\cdot X(x,y)$ 时，去掉 $y$。【维护凸包】

接下来解释为什么？？

回到上面式子去，因为 $a$ 是单增，所以 $j<k\Rightarrow X(j,k)<0$ 。即 $\frac{Y(j,k)}{X(j,k)}\le i$，证明 $j$ 不优于 $k$，且注意到 $\frac{Y(j,k)}{X(j,k)}$ 是一个常数，与枚举点 $i$ 无关。

现在回到这里，对于某个 $i$，如果 $\frac{Y(y,z)}{X(y,z)}\ge i$ 那么一定有 $\frac{Y(x,y)}{X(x,y)}\ge i$。

即，如果 $y$ 优于 $z$，那么 $x$ 一定也优于 $y$，那就没有 $y$ 什么事了。【对应的上凸包维护，即斜率逐渐递减】

code

#include <cstdio>
using namespace std;
#define int long long
#define maxn 500005
int T, n, m;
int a[maxn], q[maxn], f[maxn], sum[maxn];int Y( int j, int k ) {return f[j] - sum[j] + j * a[j + 1] - f[k] + sum[k] - k * a[k + 1];
}int X( int j, int k ) {return a[j + 1] - a[k + 1];
}signed main() {scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {scanf( "%lld %lld", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] ), sum[i] = sum[i - 1] + a[i];int head = 1, tail = 0; q[++ tail] = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {while( head < tail and Y( q[head], q[head + 1] ) >= i * X( q[head], q[head + 1] ) ) head ++;int j = q[head];f[i] = f[j] + sum[i] - sum[j] - a[j + 1] * ( i - j );int k = i - m + 1;if( k >= m ) {while( head < tail and Y( q[tail - 1], q[tail] ) * X( q[tail], k ) >= Y( q[tail], k ) * X( q[tail - 1], q[tail] ) )tail --;q[++ tail] = k;}}printf( "%lld\n", f[n] );}return 0;
}