代码都是 POJ1742 的，注意，那道题二进制优化会超时。

普通的多重背包式子，物品个数限制：$c[i]$，单个物品价值 $w[i]$，每个物品的体积 $v[i]$

第一维是前 $i$ 个物品，第二维是背包容量。
$$dp[i,j]=\max (dp[i][j],dp[i-1][j-k\ast v[i]]+k\ast w[i])0\le k\le c[i]$$

二进制优化

因为每个数都可以被表示成二进制形式。

二进制优化就是将物品的个数 $c[i]$ 拆分成二进制形式，将多个物品捆绑成 $2^i$ 个形式。

然后通过捆绑后的多重组合，能够组合出原来 $0\sim c[i]$ 的所有选择。

i.e. 物品个数为 $12$，就拆分成 $1(2^0)+2(2^1)+4(2^2)+5$，因为剩下的不足捆绑，就单独拎出来处理。

会发现这四个数就能组合出选择 $0\sim 12$ 个物品的情况。

这就将第三维度枚举放的物品个数从 $O(c[i])$ 降到了 $O(\log c[i])$。

如果将所有信息看成同阶，则复杂度为 $O(n^2\log n)$。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define maxn 105
#define maxm 100005
int f[maxm], a[maxn], c[maxn];
int n, m;int main() {while( scanf( "%d %d", &n, &m ) ) {if( ! n and ! m ) break;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &a[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &c[i] );memset( f, 0, sizeof( f ) );f[0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {int k = 1;while( c[i] >= k ) {c[i] -= k;for( int j = m;j >= a[i] * k;j -- )f[j] |= f[j - a[i] * k];k <<= 1;}if( c[i] ) {for( int j = m;j >= a[i] * c[i];j -- )f[j] |= f[j - a[i] * c[i]];}}int ans = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) ans += f[i];printf( "%d\n", ans );}return 0;
}

单调队列优化

因为某种物品尽管有很多个，但是体积是一样的。

每次都会占用背包的 $v[i]$ 体积。

所以如果原来背包的容量为 $j$，那么只会转移给 $j+v[i],j+v[i]\ast 2,...,j+v[i]\ast c[i]$，这些容量在 $\%v[i]$ 下同余。

将背包容量 $j$，按照 $\%v[i]$ 的余数分类考虑，显然两个不同的余数是不会相互转移的。

式子化地，令 $a=j/v[i],b=j\%v[i]\Rightarrow j=a\ast v[i]+b$

$f[i][j]=\max \{f[i-1][j-k\ast v[i]]+k\ast w[i]\}\Rightarrow f[i][j]=\max \{f[i-1][(a-k)\ast v[i]+b]+k\ast w[i]\}$

$k(0\le k\le c[i])$ 反正都是枚举的变量，不妨令 $k=a-k$

则 $f[i][j]=\max \{f[i-1][k\ast v[i]+b]+(a-k)\ast w[i]\}$

整理得，$f[i][j]=\max \{f[i-1][k\ast v[i]+b]-k\ast w[i]\}+a\ast w[i](a-c[i]\le k\le a)$

换种形式表达 $k$ 的范围：$j/v[i]-c[i]]\le k\le j/v[i]$

是关于 $j$ 的不减函数，一段区间，所以可以用单调队列优化。

时间复杂度是 $O(nV)$，就没有 $log$ 了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define maxn 100005
int n, m, head, tail;
int f[maxn], a[maxn], c[maxn], q[maxn];int main() {while( ~ scanf( "%d %d", &n, &m ) ) {if( ! n and ! m ) break;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &a[i] );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d", &c[i] );memset( f, 0, sizeof( f ) ); f[0] = 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if( c[i] == 1 ) {for( int j = m;j >= a[i];j -- ) f[j] |= f[j - a[i]];continue;}if( a[i] * c[i] >= m ) {for( int j = a[i];j <= m;j ++ ) f[j] |= f[j - a[i]];continue;}for( int j = 0;j < a[i];j ++ ) {head = 1, tail = 0;for( int k = j;k <= m;k += a[i] ) {while( head <= tail and q[head] < k - a[i] * c[i] ) head ++;if( ! f[k] ) f[k] |= ( head <= tail );else q[++ tail] = k;}}}int ans = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) ans += f[i];printf( "%d\n", ans );}return 0;
}