problem

有 $2n$ 个盲盒，每个盲盒有一个惊喜值 $a_i$。

打开恰好 $n$ 个盲盒，获得的惊喜值为这些盲盒惊喜值的最大公约数。

求能获得的最大惊喜值。

$n\le 1e5,a_i\le 1e12$。

solution

我是真的讨厌这种随机的正解，没什么就是想cao

有一个性质：如果随机一个盲盒，那么它被打开的概率为 $\frac{1}{2}$。

即，这个盲盒的某个因子是最后答案的概率为 $\frac{1}{2}$。

还有一个性质：通过打表发现，在 $1e12$ 内因子个数最多只有 $6720$ 个。

所以，只需要随机盲盒，然后暴力判断其每个因子是否有被 $\ge n$ 个盲盒含有。

最后为了正确性，就多随机几个数。

显然正确性是跟随机次数挂钩的，随机 $x$ 次，那么出错的概率就是这 $x$ 次的数都不是被选择盲盒，概率为 $(\frac{1}{2}{)}^x$。

code

#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <random>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 200005
#define int long long
int n, ans;
int a[maxn], f[maxn];void check( int x ) {int cnt = 0;for( int i = 1;i * i <= x;i ++ )if( x % i == 0 ) {if( i > ans ) f[++ cnt] = i;if( x / i > ans ) f[++ cnt] = x / i;}for( int i = 1;i <= cnt;i ++ )if( f[i] > ans ) {for( int j = 1, tot = 0;j <= n;j ++ )if( a[j] % f[i] == 0 ) {tot ++;if( tot >= ( n >> 1 ) ) {ans = f[i];break;}}}
}signed main() {scanf( "%lld", &n ); n <<= 1;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );mt19937 wwl( time( 0 ) );uniform_int_distribution < int > range( 1, n );for( int i = 1;i <= 20;i ++ ) {int x = range( wwl );check( a[x] );}printf( "%lld\n", ans );return 0;
}