problem

luogu翻译

solution

observation ：每行每列恰好有一个棋子，所以如果一段区间 $[l,r]$ 会被某个 $k$ 统计，当且仅当这个区间内棋子纵坐标 $y_{max}-y_{min}+1=r-l+1$。

发现这是经典的连续段计数问题。

标配：单调栈 $+$ 线段树。

将所有棋子按照横坐标升序排序。

枚举右端点 $r$，线段树上每个叶子节点 $l$ 维护的是 $[l,r]$ 的信息。

转换一下条件判定：$y_{max}-y_{min}+l-r=0$。

因为每行每列恰好一个棋子，所以所有情况都有 $y_{max}-y_{min}\ge r-l$。

而最后要计入答案的是取等的情况，即最小值。

所以线段树就维护 $y_{max}-y_{min}+l-r$ 的最小值，以及最小值个数。

最后统计的时候，就统计最小值为 $0$ 的节点信息。

• $r$ 每次都是 $+1$，对应的是线段树整体 $-1$。

• $l$ 与 $r$ 无关，在最开始建树是加上即可。

• $y_{max}$，维护一个单增栈，栈中第 $top$ 个元素维护的是区间 $[sMax[top-1]+1,sMax[top]]$ 的最大值信息，即这一段的纵坐标最大值都是 $sMax[top]$。

  每次用右端点 $r$ 与栈比较纵坐标大小，如果 $r$ 大则弹栈，将 $top$ 维护的区间加上 $y_r-y_{sMax[top]}$。

• $y_{min}$，维护一个单减栈，栈中第 $top$ 个元素维护的是区间 $[sMin[top-1]+1,sMin[top]]$ 的最大值信息，即这一段的纵坐标最小值都是 $sMin[top]$。

  每次用右端点 $r$ 与栈比较纵坐标大小，如果 $r$ 小则弹栈，将 $top$ 维护的区间加上 $y_{sMin[top]-y_i}$。

事件复杂度为 $O(n\log n)$。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 300005
int n, tMax, tMin;
int x[maxn], y[maxn], id[maxn], sMax[maxn], sMin[maxn];
struct node { int tag, Min, cnt; }t[maxn << 2];#define lson now << 1
#define rson now << 1 | 1
#define mid ( ( l + r ) >> 1 )void pushup( int now ) {if( t[lson].Min < t[rson].Min ) t[now].Min = t[lson].Min, t[now].cnt = t[lson].cnt;else if( t[lson].Min > t[rson].Min ) t[now].Min = t[rson].Min, t[now].cnt = t[rson].cnt;else t[now].Min = t[lson].Min, t[now].cnt = t[lson].cnt + t[rson].cnt;
}void pushdown( int now ) {if( t[now].tag ) {t[lson].tag += t[now].tag;t[rson].tag += t[now].tag;t[lson].Min += t[now].tag;t[rson].Min += t[now].tag;t[now].tag = 0;return;}
}void build( int now, int l, int r ) {if( l == r ) { t[now].Min = l, t[now].cnt = 1; return; }build( lson, l, mid );build( rson, mid + 1, r );pushup( now );
}void modify( int now, int l, int r, int L, int R, int k ) {if( R < l or r < L ) return;if( L <= l and r <= R ) { t[now].Min += k, t[now].tag += k; return; }pushdown( now );modify( lson, l, mid, L, R, k );modify( rson, mid + 1, r, L, R, k );pushup( now );
}int query( int now, int l, int r, int L, int R ) { if( R < l or r < L ) return 0;if( L <= l and r <= R ) return t[now].Min ? 0 : t[now].cnt;return query( lson, l, mid, L, R ) + query( rson, mid + 1, r, L, R );
}int main() {scanf( "%d", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%d %d", &x[i], &y[i] ), id[i] = i;sort( id + 1, id + n + 1, []( int u, int v ) { return x[u] < x[v]; } );build( 1, 1, n );long long ans = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {modify( 1, 1, n, 1, n, -1 );modify( 1, 1, n, x[sMax[tMax]] + 1, i, y[id[i]] );modify( 1, 1, n, x[sMin[tMin]] + 1, i, -y[id[i]] );while( tMax and y[sMax[tMax]] < y[id[i]] ) {modify( 1, 1, n, x[sMax[tMax - 1]] + 1, x[sMax[tMax]], y[id[i]] - y[sMax[tMax]] );tMax --;}while( tMin and y[sMin[tMin]] > y[id[i]] ) {modify( 1, 1, n, x[sMin[tMin - 1]] + 1, x[sMin[tMin]], y[sMin[tMin]] - y[id[i]] );tMin --;}sMax[++ tMax] = sMin[++ tMin] = id[i];ans += query( 1, 1, n, 1, i );}printf( "%lld\n", ans );return 0;
}