P6772 [NOI2020] 美食家(矩阵快速幂)

前言

无能狂怒。
见过甚至写过博客的trick,但就是想不起来了。

解析

做法1

ft,xf_{t,x}ft,x 表示 t 时刻在 x 的最大价值。
直接转移即可,时间复杂度 O(T(n+m))O(T(n+m))O(T(n+m)),期望得分 40 分。
结合无脑转圈的 A 性质,可得 50 分。

做法2

数据范围把矩阵快速幂写脸上了。
每条边建出对应时间个点转移,时间复杂度 O((5m)3klog⁡T)O((5m)^3k\log T)O((5m)3klogT),期望得分 65-75 分。

做法3

发现点比较少,边比较多,每条边都分裂节点很蠢。
于是改成把每个点分裂成5个,时间复杂度 O((5n)3klog⁡T)O((5n)^3k\log T)O((5n)3klogT)
期望得分没变,乐。

然后?然后就不会了!
。。。
回家种地吧

正解

预处理出转移矩阵 2k2^k2k 次,节日之间只需要用行向量乘转移矩阵即可。
时间复杂度 O((5n)3log⁡T+(5n)2klog⁡T)O((5n)^3\log T+(5n)^2k\log T)O((5n)3logT+(5n)2klogT),期望得分 100 分。
这个优化这篇博客写过了,然而就是没有想到,乐。
这甚至根本不能叫优化,就是个写法。
乐。
跳出刻板思维!

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define ok debug("OK\n")inline ll read() {ll x(0),f(1);char c=getchar();while(!isdigit(c)) {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)) {x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}
const int N=255;
const int mod=998244353;
const ll inf=-1e18;bool mem1;bool Flag=0;inline ll ksm(ll x,ll k){ll res(1);x%=mod;while(k){if(k&1) res=res*x%mod;x=x*x%mod;k>>=1;}return res;
}int n,m,T,k;
int tot;
int id[N][6];struct matrix{int x,y;ll a[N][N];matrix(int X=0,int Y=0):x(X),y(Y){memset(a,-0x3f,sizeof(a));}
}tr,mi[40],res;
matrix operator * (const matrix &u,const matrix &v){matrix res(u.x,v.y);assert(u.y==v.x);for(int k=1;k<=u.y;k++){for(int i=1;i<=u.x;i++){ll tmp=u.a[i][k];for(int j=1;j<=v.y;j++){res.a[i][j]=max(res.a[i][j],tmp+v.a[k][j]);}}}return res;
}
int c[N];
struct node{int t,x,w;bool operator < (const node &oth)const{return t<oth.t;}
}o[N];
int num;bool mem2;
signed main(){#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("a.in","r",stdin);freopen("a.out","w",stdout);#endifn=read();m=read();T=read();k=read();memset(tr.a,-0x3f,sizeof(tr.a));tr.x=tr.y=n*5;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=5;j++) id[i][j]=++tot;for(int j=1;j<=4;j++) tr.a[id[i][j]][id[i][j+1]]=0;}for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read();for(int i=1;i<=m;i++){int x=read(),y=read(),w=read();tr.a[id[x][w]][id[y][1]]=c[y];}for(int i=1;i<=k;i++){int t=read(),x=read(),w=read();o[++num]=(node){t,x,w};}o[++num]=(node){T,1,0};sort(o+1,o+1+num);mi[0]=tr;for(int i=1;i<=30;i++) mi[i]=mi[i-1]*mi[i-1];res.x=1;res.y=tot;memset(res.a,-0x3f,sizeof(res.a));res.a[1][id[1][1]]=c[1];int pre(0);for(int i=1;i<=num;i++){int d=o[i].t-pre;for(int k=30;k>=0;k--){if(d&(1<<k)) res=res*mi[k];}res.a[1][id[o[i].x][1]]+=o[i].w;pre=o[i].t;}if(res.a[1][id[1][1]]<0) puts("-1");else printf("%lld\n",res.a[1][id[1][1]]);return 0;
}
/*
*/

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