$\text{Foreword}$

肝了一下午+一晚上的码农题…
（主要就是在 debug，LCT 太难 de 了…）
感谢 @M_sea，在调无可调认为LCT会不会不可做时，我看到了他的题解，几乎一样的思路，给了我继续调下去的信心。

$\text{Solution}$

第一感就是割点 LCT 的感觉。(为什么都说这是平衡树板题啊…)

细化一下，把每个格点分成左上、右上、左下、右下四个点，每条边分成两边两个点，在可以直接走过的相邻点直接连边，那么整张图就会变成若干个环。
询问就是要求给出两点在环上钦定方向的距离。
对于修改，一个避免分讨的实现方法是把修改格边涉及到所有点之间的边 cut 掉，修改格边的存在状态后，再按照新的状态把对应的点 link 回去。

还有一个问题：LCT是无法维护环的，怎么办？
一个比较直观的想法是：随便选一条边 cut 掉（称为特殊边），这样就变成一条链了。询问的时候，“钦定的方向”要么是 split 出的实链的长度，要么是其补集，常规套路记录实链大小和虚子树大小即可。

但这样修改的时候会出问题：如果修改边使两个环合并为一个环，那么这个环上就会有两条特殊边，那么最终的 LCT 形态就会变得不连通了…
也有解决方法：在合并环之前把各自的特殊边 link 回去，合并完之后自然就只会出现一条新的特殊边（即合并失败的边）。
所以我们现在还需要记录一下每个环的特殊边是什么，通过 LCT 打标记即可维护。

于是本题就做完了。
（我调了一晚上的坑点：当特殊边被修改的格边状态涉及到时，不应该额外 link 特殊边，因为修改格边状态后可能这条边本身可能就已经不复存在了！）

$\text{Code}$

代码调调补补变得又长又丑，就放剪切板吧。