三元环讲解

参考文章:
不常用的黑科技——「三元环」

引入

给定一张无重边,无自环的无向图,点数为n,边数为m,且n,m同阶,问有多少个无序三元组(i,j,k),使得存在:

  1. 有一个连接i,j的边
  2. 有一条连接j,k的边
  3. 有一条链接k,i的边
    即三元环

解决方法:

首先对所有的无向图进行定向,对于任意一条边,从度数大的点连向度数小的点,当度数一样时,从编号小的点连向编号大的点

此时就得到一个有向无环图

然后枚举每一个点,将u所有到达的点v进行标记,标记为u,然后再遍历点v,枚举点v所能到达的点w,如果w存在被u访问的标记,则说明(u,v,w)是一个三元环

证明:

这里讲的很详细,我就不做赘述
不常用的黑科技——「三元环」

复杂度

O(n+m+nm+mm)=O(mm)O(n+m+n\sqrt{m}+m\sqrt{m})=O(m\sqrt{m})O(n+m+nm+mm)=O(mm)

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
vector<int> g[N];
int deg[N], vis[N], n, m, ans;
struct E { int u, v; } e[N * 3];
int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i) {scanf("%d%d", &e[i].u, &e[i].v);++ deg[e[i].u], ++ deg[e[i].v];}for(int i = 1 ; i <= m ; ++ i) {int u = e[i].u, v = e[i].v;if(deg[u] < deg[v] || (deg[u] == deg[v] && u > v)) swap(u, v);g[u].push_back(v);}for(int x = 1 ; x <= n ; ++ x) {for(auto y: g[x]) vis[y] = x;for(auto y: g[x])for(auto z: g[y])if(vis[z] == x)++ ans;}printf("%d\n", ans);
}

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