CF1253F Cheap Robot

题意：

给你一张 N 个点的带权无向连通图，其中结点 1,2,…,k 为充电中心。

一个机器人在图中行走，假设机器人的电池容量为 c，则任何时刻，机器人的电量 x 都必须满足 c0≤x≤c。如果机器人沿着一条边权为 w 的边从结点 i 走到结点 j，它的电量会减少 w。机器人可以在到达某个充电中心时把电量充满。

现在有 q 个询问，每次询问机器人要从 a 点到达 b 点，电池容量至少为多少，各个询问相互独立。保证 a 点和 b 点都是充电中心。

题解：

我和队友讨论这个题，讨论的大差不差，但是有个错误。我们一开始认为点a到点b的距离，直接跑最小生成树就可以，但其实并不是，我们忽略了充电中心的作用，比如从3到1，路线为3→9→8→7→2→7→6→5→4→1，到7时并没有直接前往6，而是先到2充满电，然后在去6，这样相当于及时充电。
也就是我们可以通过走向最近的充电中心来补充能量，这样可以优化电池容量，所以我们需要求出任意一个点到离他最近的充电站的距离
这怎么求？多源最短路，没必要，我们可以建一个超级源点，连向所有充电站，边权为0，然后再新图上跑一个最短路，求出所有点到离他最近的充电站的距离
现在得到dis[i]:表示距离点i最近的充电站的距离
怎么用呢？如下
对于一个可以完成的路径(不会在半路因为能量不足而无法完成)
我们设当前走到点i，剩余电量为x，一定会有$x>=di{s}_i$（题目保证终点是充电站，且中途可以充电，如果x<dis_{i}就无法走到终点了）
设电容量为c，有$c>=x>=di{s}_i$,c相当于上界
因为走到i点至少要消耗$di{s}_i$的电(因为距离i最近的充电站才dis_{i},不可能总消耗比dis_{i}还小)，所以有：$c-di{s}_i>=x>=di{s}_i$

设下一个点是j，且边权为$wij$,有：$c-di{s}_j>=x-w_{i,j}>=di{s}_j$，道理同上(注意这个式子里的下标是j)
现在我们合并两个式子，就可以得到关于点i到点j的路径信息
有：$x-w_{i,j}>=di{s}_j$，我们用c来代替x，因为我们想要的是与c相关的式子，得到：
$di{s}_j<=c-di{s}_i-w_{i,j}$
整理：
$c>=di{s}_i+di{s}_j+w_{i,j}$
这个式子的含义不就是从点i到点j所需要的最小电池容量为$di{s}_i+di{s}_j+w_{i,j}$,也就是我们求出了原图中任意两个相邻点所需要的电池容量。
上述推到过程建议仔细阅读，慢慢体会，很妙
现在每次询问一个起点 a 到 b 的最小电池容量，就是找一条从 a 点到 b 点的路径，使得这个路径上的最大值最小
这个路径一定是在最小生成树上的，这是最小生成树经常解决的问题。因为最小生成树加边是从小到大，且保证图联通的情况下
我们构造最小生成树，然后问题就变成求a到b路径上的最大值，可以用LCA+倍增来求

这是一个综合性很强且考察代码能力的题，值得一刷

代码：

// Problem: F. Cheap Robot
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #600 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1253/problem/F
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 3000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)//#pragma GCC target("avx")
//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize(3)
//#pragma GCC optimize("Ofast")
// created by myq
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <list>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <sstream>
#include <stack>
#include <string>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define x first
#define y second
typedef pair<ll,ll> pii;
const int N= 400010;
const int mod= 998244353;
inline int read()
{int res= 0;int f= 1;char c= getchar();while (c > '9' || c < '0') {if (c == '-')f= -1;c= getchar();}while (c >= '0' && c <= '9') {res= (res << 3) + (res << 1) + c - '0';c= getchar();}return res;
}
struct node
{int a;int b;ll c;bool operator<(const node& w) const{return c < w.c;}
} q[N];
int p[N];
vector<pii> v[N];
int idx;
int n, m, k, _;
int newcnt;
int val[N];
ll dist[N];
vector<pii> g[N];
vector<pair<int, ll>> ng[N];
int dep[N];
int f[N][20];
bool st[N];
ll f2[N][20];
int find(int x)
{if (p[x] != x)p[x]= find(p[x]);return p[x];
}
// void dfs(int u,int fa,int top,ll sum=0){
// for(auto j:v[u]){
// if(j.x==fa)	continue;
// if(j.x>k)
// dfs(j.x,u,top,sum+j.y);
// else
// {
// g[top].push_back({j.x,j.y});
// dfs(j.x,u,j.x,0);
// }
// }
// }
void dfs2(int u, int fa, ll faw)
{dep[u]= dep[fa] + 1;f[u][0]= fa;f2[u][0]= faw;for (auto j : ng[u]) {if (j.x == fa)continue;dfs2(j.x, u, j.y);}
}
ll maxlca(int a, int b)
{ll maxv= 0;if (dep[a] < dep[b])swap(a, b);for (int i= 19; i >= 0; i--)if (dep[f[a][i]] >= dep[b]) {maxv= max(maxv, f2[a][i]);a= f[a][i];}if (a == b)return maxv;for (int i= 19; i >= 0; i--)if (f[a][i] != f[b][i]) {maxv= max(maxv, f2[a][i]);maxv= max(maxv, f2[b][i]);a= f[a][i], b= f[b][i];}maxv= max(maxv, max(f2[a][0], f2[b][0]));return maxv;
}
void dijkstra()
{priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii>> q;for (int i= 0; i <= n; i++)dist[i]= 1e18;dist[0]= 0;q.push({0, 0});while (q.size()) {auto tt= q.top();q.pop();if (st[tt.y])continue;st[tt.y]= 1;for (auto j : g[tt.y]) {if (dist[j.x] > dist[tt.y] + j.y) {dist[j.x]= dist[tt.y] + j.y;if (!st[j.x])q.push({dist[j.x], j.x});}}}
}
void init()
{for (int i= 1; i <= 19; i++)for (int u= 1; u <= n; u++) {f[u][i]= f[f[u][i - 1]][i - 1], f2[u][i]= max(f2[u][i - 1], f2[f[u][i - 1]][i - 1]);}
}
int main()
{// ios::sync_with_stdio(0);// cin.tie(0);// cout.tie(0);cin >> n >> m >> k >> _;newcnt= k;for (int i= 0; i < m; i++) {int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);q[i]= {a, b, c};}for (int i= 1; i <= n; i++)p[i]= i;int A, B;for (int i= 0; i < m; i++) {int a, b;a= q[i].a;b= q[i].b;g[a].push_back({b, q[i].c});g[b].push_back({a, q[i].c});}for (int i= 1; i <= k; i++)g[0].push_back({i, 0});dijkstra();for (int i= 0; i < m; i++) {q[i].c= dist[q[i].a] + dist[q[i].b] + q[i].c;}sort(q, q + m);int cnt= 0;for (int i= 0; i < m; i++) {ll c= q[i].c;int a= q[i].a;int b= q[i].b;a= find(a);b= find(b);if (a != b) {p[a]= b;//            cout << q[i].a << " " << q[i].b << " " << c << endl;ng[q[i].a].push_back({q[i].b, c});ng[q[i].b].push_back({q[i].a, c});cnt++;if (cnt == n - 1)break;}}//	dfs(1,0,1,0);dfs2(1, 0, 0);init();while (_--) {int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);cout << maxlca(a, b) << endl;}return 0;
}
/**
* In every life we have some trouble
* When you worry you make it double
* Don't worry,be happy.
**/