后缀数组SA

模板

花了不少时间才理解倍增求$SA$的实现方法，我还是太菜了。

定义$sa[i]$表示排名为$i$的后缀的起始位置。
定义$rank[i]$表示起始位置为$i$的后缀的排名。
显然两者之前互逆。

void solve()
{int m=122;for (int i=1;i<=m;i++) cnt[i]=0;for (int i=1;i<=n;i++) cnt[x[i]=a[i]]++;for (int i=1;i<=m;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];for (int i=n;i>=1;i--) sa[cnt[x[i]]--]=i;for (int k=1;k<=n;k<<=1){int p=0;for (int i=1;i<=m;i++) y[i]=0;for (int i=n-k+1;i<=n;i++) y[++p]=i;for (int i=1;i<=n;i++) if (sa[i]>k) y[++p]=sa[i]-k;for (int i=0;i<=m;i++) cnt[i]=0;for (int i=1;i<=n;i++) cnt[x[y[i]]]++;for (int i=1;i<=m;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];for (int i=n;i>=1;i--) sa[cnt[x[y[i]]]--]=y[i];swap(x,y);x[sa[1]]=p=1;for (int i=2;i<=n;i++)x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?p:++p;if (p>=n) break;m=p;}
}

Height以及LCP

定义$LCP(x,y)$表示字符串$x$与$y$之间的最长公共前缀长度。

定义$height[i]$表示$suffix[sa[i-1]]$和$suffix[sa[i]]$的$LCP$的长度，即相邻排名的后缀的$LCP$长度。

容易发现一个性质
对于任意的$j,k$，若$rank[j[<rank[k]$，则$suffix(j),suffix(k)$的$LCP$的长度为
$$mi{n}_{i=rank[j]+1}^{rank[k]}height[i]$$
即两个后缀$j,k$的$LCP$长度是排名在它们之间所有的后缀（包括$suffix(k)$）的$height$值的最小值。

根据这一性质，倘若我们可以求出$height[i]$，我们就可以通过$ST$表，$O(nlgn)$预处理，$O(1)$询问两个后缀的$LCP$答案了。

而对于$height$数组，也有一个重要的性质：
$$height[i-1]-1\le height[i]$$
于是可以$O(n)$计算$height$了。

void get_height()
{for (int i=1;i<=n;i++) rnk[sa[i]]=i;for (int i=1,j=0;i<=n;i++){if (j) j--;while (a[i+j]==a[sa[rnk[i]-1]+j]) j++;height[rnk[i]]=j;}
}

SA的简单应用

1.求最长重复子串

答案为$height$最大值。

2.求最长重复k次子串

二分答案，转化为判断是否存在长度为$x$的子串重复至少$k$次。将所有相邻且$height$大于等于$x$的都分在一组，判断是否有一组的后缀个数大于$k$即可。

时间复杂度$O(n)$

3.本质不同子串个数

答案为产生的新串数量-重复出现的串的数量。
则${\sum }_i(n-i+1)-height[rnk[i]]$。