P4548 [CTSC2006]歌唱王国

题目描述

Solution

这一题在《具体数学（混泥土数学）》里讲得很详细了啊，这里相当于总结一下，想具体了解的直接看书吧。

我们先考虑字符集为$2$的情况，设硬币正面朝上$(H)$的概率为$p$，反面朝上$(T)$的概率为$q$。

这道题显然需要建立一个类似$KMP$的自动机，令$S_i$表示已经到达目标串的第$i$个位置的状态集合。

例如目标串为$THTTH$（以下都以这个串为例介绍这种做法），则
S2={TH,TTH,HTH,TTTH......}S5={THTTH,TTHTTH,HTHTTH......}S_2=\{TH,TTH,HTH,TTTH......\}\\ S_5=\{THTTH,TTHTTH,HTHTTH......\} S2​={TH,TTH,HTH,TTTH......}S5​={THTTH,TTHTTH,HTHTTH......}

显然有：
$$\begin{gathered} S_0=1+S_{0}H+S_{1}T+S_{2}H \\ {S}_1=S_{0}T+S_{4}T \\ {S}_2=S_{1}H+S_{3}H \\ {S}_3=S_{2}T \\ {S}_4=S_{3}T \\ {S}_5=S_{4}H \end{gathered}$$
其中$1$表示空状态，像$S_{1}H$这种形式表示在$S_1$状态集合每一个元素后面加一个$H$字符之后的状态。

这样的话，我们就能有一个$O(n^3)$的算法。
令$E[x]$表示达到目标串的第$x$个位置所需要的字符个数的期望，直接按照上面的状态转移高斯消元计算即可。

但这显然是不够的。

我们设$N={\sum }_{i<n}{S}_i,S=S_n$，表示还没有目标串的所有状态集合，考虑用只用$S$和$N$，表示出上面的式子。

于是我们可以推出：
$$1+N(H+T)=S+N$$
因为$1+N$加上一个字符之后的状态要么没达到目标，要么达到目标，根据定义显然$S$和$N$不相交。

并且有：
$$NTHTTH=S+STTH$$
这一个式子我理解了很久（$QAQ$）。。
因为$N$中的元素加了$THTTH$之后一定能达到目标状态，然而可能$N$中的元素加了$TH$之后就已经达到目标，这样就会在末尾多一个$TTH$，且容易发现$S$和$STTH$仍是不相交的。

我们考虑这种加了长度为$k$的目标串，就包含目标串的条件，显然是$ST[1..k]=ST[n-k+1,k]$，就是说$ST$有一段长度为$k$的$Border$。

有了这两个式子之后，我们就可以推出：
$$(1-S)(1-H-T)THTTH=S(1+TTH)$$

事实上，这里的$S$,$T$和$H$，就不是单纯的状态了，这里的$S$已经是一个概率生成函数，而$T$和$H$能够表示一个概率生成函数的转移：

设$G(z)$为一个表示抛掷次数的概率生成函数。
$$G(z)=\sum _{i}Pr(z=i)z^i$$
其中的$z$就是表示抛掷次数的形式变元，因为下一个字符为$T$的概率为$q$，为$H$的概率为$p$，所以加一个$T$相当于$G(z)\ast pz$，加一个$H$相当于$G(z)\ast qz$。

于是上式变成了
$$(1-G(z))(q-pz-qz{)}^{-1}{p}^3{q}^2{z}^5=G(z)(1+p^{2}qz)$$
解得：
$$G(z)=\frac{p^3{q}^2{z}^5}{(1+p^{2}q{z}^3)(1-z)+p^3{q}^2{z}^5}$$
而我们要求的期望为$E(x)=G^{\prime }(1)$，因此我们需要想方法求出$G^{\prime }(1)$。

有一个特殊的方法是：
设
$$F(z)=z^5/G(z)$$
可以证明$F(z)$的均值（$Mean$）和$G(z)$的均值相同。
因此$Mean(G)=Mean(z^5)-Mean(F)=p^{-1}{q}^{-1}+p^{-3}{q}^{-2}$

若$p=q=1/2$，则有期望$6$次到达目标串。

而根据上面的式子，容易知道，若存在一个$Border$有$x$个$H$,$y$个$T$，则答案$Ans+=p^{-y}{q}^{-x}$，所以只要知道有哪些长度的$Border，$就能算出答案。

我们已经解决了字符集大小为$2$的问题，现在字符集大小为$n$的做法也是一样的，因为这里的所有字符等概率出现，所以就不需要继续推到，相当于每出现一个$Border$的贡献为$n^k$，直接统计$Border$长度，计算贡献和即可。

时间复杂度$O(n)$，有点小精度问题，我开$longdouble,WA$开$double,AC$，表示一脸懵逼。

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
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#include <stack>
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#include <algorithm>
#include <functional>
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#include <sstream>
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#include <cstdlib>
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#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int Mod=10000;
const int mods=1e9+7;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
int Pow[MAXN],hsh[MAXN],a[MAXN];
inline int upd(int x,int y,int mods){ return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; }
inline int gethash(int l,int r) { return upd(hsh[r],mods-1ll*Pow[r-l+1]*hsh[l-1]%mods,mods); }
int main()
{int C=read(),Case=read();while (Case--){int n=read();for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();Pow[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) Pow[i]=1ll*Pow[i-1]*(C+1)%mods;for (int i=1;i<=n;i++) hsh[i]=(1ll*hsh[i-1]*(C+1)+a[i])%mods;int ans=0;for (int i=1,p=C%Mod;i<=n;i++,p=p*C%Mod)if (gethash(1,i)==gethash(n-i+1,n)) ans=upd(ans,p,Mod);printf("%04d\n",ans);}return 0;
}