牛顿迭代法

定义

在一般意义下，牛顿迭代法可以求出一个函数的零点，而在多项式意义下，牛顿迭代能够求出：给定一个$G(x)$，求$F(x)$，使得$G(F(x))\equiv 0(mod{x}^n)$

推导

当$n=1$时，单独求解$F(x)$的值。
当$n>1$时，假设我们已经求出了$F_0(x)$满足$G(F_0(x))=0(mod{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$。

考虑如何用$F_0(x)$求出$F(x)$。
将$G(F(x))$在$F_0(x)$处泰勒展开。
$$G(F(x))=G(F_0(x))+\frac{G(F_0^{\prime }(x))}{1!}(F(x)-F_0(x))+\frac{G(F_0^{\prime \prime }(x))}{2!}(F(x)-F_0(x))\dots \dots$$
可以发现$F(x)-F_0(x)$的非零项大于$\lceil \frac{n}{2}\rceil$，因此有$(F(x)-F_0(x){)}^2$的非零项大于$n$，所以有：
$$G(F(x))=G(F_0(x))+G(F_0^{\prime }(x))(F(x)-F_0(x))(mod{x}^n)$$

因为$G(F(x))\equiv 0(mod{x}^n)$，所以：
$$F(x)=F_0(x)-\frac{G(F_0(x))}{G(F_0^{\prime }(x))}$$

应用

多项式求逆：

已知多项式$A(x)$，求一个多项式$F(x)$，使得$F(x)A(x)\equiv 1(mod{x}^n)$。
相当于求$F(x)$满足$A(x)-\frac{1}{F(x)}\equiv 0(mod{x}^n)$

令$G(x)=A(x)-\frac{1}{F_0(x)}$
则根据牛顿迭代，有：
$$F(x)=F_0(x)-\frac{A(x)-\frac{1}{F_0(x)}}{F_0(x{)}^{-2}}(mod{x}^n)$$
因此有：
$$F(x)=F_0(x)(2-F_0(x)A(x))(mod{x}^n)$$
因此递归求解$F_0(x)$即可，感觉比倍增法的推导精妙一些（虽然求逆的倍增法和牛顿迭代的推法差不多）。

多项式开方：

已知多项式$A(x)$，求一个多项式$F(x)$，使得$F(x{)}^2\equiv A(x)(mod{x}^n)$。

相当于求$F(x)$满足$F(x{)}^2-A(x)\equiv 0(mod{x}^n)$

令$G(x)=F_0(x{)}^2-A(x)$。
$$F(x)=F_0(x)-\frac{F_0(x{)}^2-A(x)}{2F_0(x)}$$
因此：
$$F(x)=\frac{F_0(x)+A(x)}{2F_0(x)}(mod{x}^n)$$
时间复杂度$O(nlgn)$，在$A(0)=1$时，常数项为$1$，否则还需要二次剩余计算。

多项式exp：

已知多项式$A(x)$，求一个多项式$F(x)$，使得$F(x)=e^{A(x)}(mod{x}^n)$。

相当于求$F(x)$满足$\ln F(x)\equiv A(x)(mod{x}^n)$

令$G(x)=\ln F_0(x)-A(x)$。

把$F_0(x)$当做一个常量，因此：
$$F(x)=F_0(x)-\frac{ln{F}_0(x)-A(x)}{\frac{1}{F_0(x)}}$$
即：
$$F(x)=F_0(x)(1-\ln F_0(x)+A(x))$$
时间复杂度$O(nlgn)$，$A(0)=0$时，$F(0)=1$。

多项式k次幂

已知多项式$A(x)$以及一个整数$k$，求一个多项式$F(x)$，使得$F(x)=A(x{)}^k(mod{x}^n)$。

相当于求$F(x)$满足$\ln F(x)-k\ln A(x)\equiv 0(mod{x}^n)$
也就是$F(x)-e^{k\ln A(x)}\equiv 0(mod{x}^n)$

因此先$\ln$，再乘$k$，再$exp$回去即可。

时间复杂度$O(nlgn)$。

Code详见多项式全家桶