Loj #6089. 小 Y 的背包计数问题

Solution

似乎是比较套路的东西。

我们发现对于$i\le \sqrt{n}$的部分是一个多重背包，而剩下的部分是一个完全背包，因此考虑分开计算之后合并答案。

part one

当$i\le \sqrt{n}$时，令$f_{i,j}$表示前$i$种数总和为$j$的方案数，有：
$$f_{i,j}=\sum _{k=0}^i{f}_{i-1,j-ki}$$
这一部分可以前缀和优化，令$s_{i,j}={\sum }_k{f}_{i-1,j-ki}$，有$s_{i,j}=s_{i,j-i}+f_{i-1,j}$，于是$$f_{i,j}=s_{i,j}-s_{i,j-i\ast i-i}$$
这一部分是 $O(n\sqrt{n})$的。

part two

当$i>\sqrt{n}$时，这一部分的方案数相当于初始有一个空序列，每次要么加进去一个$\sqrt{n}+1$，要么序列里每个数加$1$，求不同序列个数，于是考虑一个特殊的$dp$，令$g_{i,j}$表示序列共有$i$个数，总和为$j$的序列个数，有：$$g_{i,j}=g_{i-1,j-\sqrt{n}-1}+g_{i,j-i}$$
这一部分也是$O(n\sqrt{n})$的。

part three

最后考虑合并：
$Ans={\sum }_{i=0}^n{\sum }_{j=0}^{\sqrt{n}}{f}_{\sqrt{n},i}\cdot g_{j,n-i}$
还是$O(n\sqrt{n})$的。

因此总复杂度$O(n\sqrt{n})$，这边空间复杂度如果用滚动数组，并且一边算$part2$，一边算$part3$，可以优化至$O(n)$。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=100005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
int s[2][MAXN],f[2][MAXN],g[355][MAXN];
int upd(int x,int y) { return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; }
signed main()
{int n=read(),sz=floor(sqrt(n));f[1][0]=f[1][1]=1;for (int i=2;i<=sz;i++) for (int j=0;j<=n;j++){s[i&1][j]=upd((j-i>=0?s[i&1][j-i]:0),f[(i^1)&1][j]);f[i&1][j]=upd(s[i&1][j],mods-(j-i*i-i>=0?s[i&1][j-i*i-i]:0));}g[0][0]=1;for (int i=1;i<=sz;i++)for (int j=0;j<=n;j++) g[i][j]=upd((j>=sz+1?g[i-1][j-sz-1]:0),(j>=i?g[i][j-i]:0));int ans=0;for (int i=0;i<=n;i++) for (int j=0;j<=sz;j++) ans=upd(ans,1ll*f[sz&1][i]*g[j][n-i]%mods);printf("%d\n",ans);return 0;
}