2019 ICPC World Finals Problem B. Beautiful Bridges

Solution

太菜了， $s b$ 题调了一个下午。

首先有一个显然的 $O(n^3)$ 的 $d p$ ，令 $f_i$ 表示最后一个桥柱在 $i$ 的最小代价，枚举上一个桥柱 $j$ ，因为地面超过桥拱则必然存在一个关键点超过桥拱，因此可以暴力 $O (n)$ 判断 $i . . j$ 可不可行，然后转移即可。

然后显然是要优化判断桥柱 $l, r$ 能否装下 $l r$ 的所有地面的过程，我们知道 $l, r$ 的桥拱形成了一个圆心为 $(l+r2,h−r−l2)(\frac{l+r}{2},h-\frac{r-l}{2})$ ，半径为 $r−l2\frac{r-l}{2}$ 的圆。那么我们考虑固定 $r$ ，则对于每一个点 $(x, y)$ ，其可行的 $l$ 一定在一个区间范围内，为什么呢？我们可以分两种情况讨论：

$part1.part\;1.$ $(x, y)$ 在两个桥柱组成的矩形内部：

这种情况成立的条件显然为 $h−r−l2≥yh-\frac{r-l}{2}\geq y$ ，也就是 $l≥2y−2h+rl\geq 2y-2h+r$ 。注意此时需满足 $r - 2 (h - y) > = x$ ，否则 $(x, y)$ 不可能出现在矩形区域内，无解。
$part2.part\;2.$ $(x, y)$ 在两个桥柱组成的圆内部：

此时必然有 $(x−l+r2)2+(y−h+r−l2)2≤(r−l2)2(x-\frac{l+r}{2})^2+(y-h+\frac{r-l}{2})^2\leq (\frac{r-l}{2})^2$
整理成关于 $l$ 的二次方程：
$l2+(2r−4x−4h−4y)l+4(h−y)(h−y−r)+(2x−r)2≤0l^2+(2r-4x-4h-4y)l+4(h-y)(h-y-r)+(2x-r)^2\leq 0$
可解出 $l∈[l1,l2]l\in[l_1,l_2]$ 。

我们可以知道的是倘若 $part1part\;1$ 与 $part2part\;2$ 的解有交，则交必然为 $(x, y)$ 在下半圆的部分，也就是说交的部分必然为 $l,l_2]$ ，且倘若 $part2part\;2$ 无解，则 $part1part\;1$ 必然无解。

因此倘若 $part2part\;2$ 无解，那么 $l∈∅l\in\varnothing$ 。
否则若 $part1part\;1$ 无解，那么 $l∈[l1,l2]l\in[l_1,l_2]$ 。
否则 $l∈[l1,+∞]l\in[l_1,+\infty]$ 。

到这里我们就可以 $O (1)$ 计算一个 $j$ 的可行区间，因此从大到小枚举 $j$ ，对所有可行区间求交，若可行区间 $[l, r]$ 包含了 $x_j$ ，则用 $j$ 更新 $i$ 的答案即可。

时间复杂度 $O(n^2)$ 。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
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#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
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#include <sstream>
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#include <cmath>
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#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=20005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
ll f[MAXN];
PR a[MAXN];
signed main()
{ll n=read(),h=read(),c1=read(),c2=read();for (int i=1;i<=n;i++) a[i].fi=read(),a[i].se=read(),f[i]=loo;f[1]=c1*(h-a[1].se);for (int i=2;i<=n;i++){double L=a[i].se*2-h*2+a[i].fi,R=a[i].fi,r=a[i].fi;for (int j=i-1;j>=1;j--){ll x=a[j].fi,y=a[j].se,b=-x*4+r*2-y*4+h*4,c=(h-y)*(h-y-r)*4+x*x*4-x*r*4+r*r,d=b*b-c*4;if (d<0) break;if (r-(h-y)*2>=x) upmax(L,(-b-sqrt(d))*0.5),upmin(R,(-b+sqrt(d))*0.5);else upmax(L,(-b-sqrt(d))*0.5);if (L-eps<x&&x<R+eps){ll t=c2*(a[i].fi-x)*(a[i].fi-x)+c1*(h-a[i].se)+f[j];upmin(f[i],t);}}}if (f[n]==loo) puts("impossible");else printf("%lld\n",f[n]);return 0;
}