ARC068C - Snuke Line

Description

其实就是给出$n$个区间$[l_i,r_i]$对于每一个$i\in [1,M]$，求：
$$\sum _{j=1}^n[\lfloor \frac{r_j}{i}\rfloor -\lfloor \frac{l_j-1}{i}\rfloor \ge 1]$$
好吧其实这样思考感觉更难了。。。

Solution

考虑计算这个的瓶颈，我们自然地想到用调和级数级别的方法去计算这类问题：对于每个位置$t$，求出$s_t={\sum }_{j}t\in [l_j,r_j]$，也就是$t$被包含的区间个数（这可以用树状数组维护），然后直接枚举$i$的倍数计算答案。但这样会有问题，原因在于一个区间可能存在多个$i$的倍数，产生重复贡献。

进一步的，我们发现当$r_j-l_j+1>=i$时，必然为$1$，否则必然不大于$1$，有了这个性质，我们就可以只对长度小于$i$的区间统计$s_i$，枚举$i$的倍数计算，剩下的区间都会产生$1$的贡献，直接统计即可。

时间复杂度$O(nlnMlgM+nlgn)$。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=300005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
PR a[MAXN];
int s[MAXN],n,m;
void add(int x,int y) { for (;x<=m+1;x+=x&(-x)) s[x]+=y; }
int query(int x) { int ans=0; for (;x;x-=x&(-x)) ans+=s[x]; return ans; }
signed main()
{n=read(),m=read();for (int i=1;i<=n;i++) a[i].fi=read(),a[i].se=read();sort(a+1,a+n+1,[&](PR x,PR y){ return x.se-x.fi<y.se-y.fi; });for (int i=1,nw=1;i<=m;i++){while (nw<=n&&a[nw].se-a[nw].fi+1<i) add(a[nw].fi,1),add(a[nw].se+1,-1),nw++;int ans=n-nw+1;for (int j=i;j<=m;j+=i) ans+=query(j);printf("%d\n",ans);}return 0;
}