2019 ICPC World Finals Problem J. Miniature Golf

Solution

设$l$为$l_0$时$i$的总分为$s_{i,l_0}$，$s_{i,l_0}={\sum }_{k}min(a_{i,k},l_0)$，让$l$从小到大依次变化，可以发现$s_{i,l}$表现为一个斜率非负的上凸壳（上凸壳的左边一半），${\Delta }_l=s_{i,l+1}-s_{i,l}={\sum }_k[a_{i,k}>l]$，且至多有$h+1$条斜率不同的线段。

当两个凸壳$i,j$交于一点，且该点所处的两条线段斜率不同时，$i,j$之间的排名关系会发生变化，显而易见的是，两个$h+1$段上凸壳能找到$O(h)$个上述交点，因此我们只需要求出每个$i,j$交点和交点处$i,j$的排名变化，即可算出任意时刻某点排名。

具体的，我们把$a_{i,1},a_{i,2}...a_{i,h}$排序，然后对于每个$i,j$，求出$a_i,a_j$中的所有不同的值$b_1,b_2,b_3...b_n$，且令$b_0=0,b_{n+1}=10^9$，显然$(b_k,b_{k+1}]$这一段中的上述交点唯一，直接计算即可，时间复杂度为$O(p^{2}h)$。

最后把所有$O(p^{2}h)$个排名变化按时间排序统计最小值即可。
总时间复杂度$O(p^{2}hlogph)$。

Code

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=20005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
PR V[505][50005];
int a[505][55],b[50005],Num[505],num;
void add(int x) { if (b[num]==x) return; b[++num]=x; }
signed main()
{int n=read(),m=read();for (int i=1;i<=n;i++){for (int j=1;j<=m;j++) a[i][j]=read();sort(a[i]+1,a[i]+m+1);}for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=i+1;j<=n;j++){int nw=1; b[num=1]=0;for (int k=1;k<=m;k++){while (nw<=m&&a[j][nw]<=a[i][k]) add(a[j][nw]),nw++;add(a[i][k]);}while (nw<=m) add(a[j][nw]),nw++;add(1000000000);ll x1=0,x2=0,s1=0,s2=0;for (int k=1;k<num;k++){while (x1<m&&a[i][x1+1]<=b[k]) x1++;while (x2<m&&a[j][x2+1]<=b[k]) x2++;if (x1>x2&&s1>=s2){ll t=(s1-s2-1)/(x1-x2)+1,p=(s1-s2)/(x1-x2)+1;if (p+b[k]<=b[k+1]) V[i][Num[i]++]=MP(b[k]+p,-1);if (s1!=s2&&t+b[k]<=b[k+1]) V[j][Num[j]++]=MP(b[k]+t,1);}else if (x1<x2&&s1<=s2){ll t=(s2-s1-1)/(x2-x1)+1,p=(s2-s1)/(x2-x1)+1;if (p+b[k]<=b[k+1]) V[j][Num[j]++]=MP(b[k]+p,-1);if (s1!=s2&&t+b[k]<=b[k+1]) V[i][Num[i]++]=MP(b[k]+t,1);}s1+=(m-x1)*(b[k+1]-b[k]),s2+=(m-x2)*(b[k+1]-b[k]);}}for (int i=1;i<=n;i++){sort(V[i],V[i]+Num[i]);int mn=n,nw=n;for (int j=0;j<Num[i];j++){nw+=V[i][j].se;if (V[i][j].fi!=V[i][j+1].fi) upmin(mn,nw);}printf("%d\n",mn);}return 0;
}