【AT987】高橋君【组合数】【莫队】

传送门

题意:TTT组询问NNN个相同物品选不超过KKK个的方案数,T,N≤1e5T,N \leq 1e5T,N1e5

f(x,y)=∑i=0yCxif(x,y)=\sum_{i=0}^{y}C_x^if(x,y)=i=0yCxi即所求

直接求并没有很好的性质

但我们发现:f(x,y)=2f(x−1,y)−Cx−1yf(x,y)=2f(x-1,y)-C_{x-1}^yf(x,y)=2f(x1,y)Cx1y,即乘以二减去最后一个等于下一行

Cnm=Cn−1m+Cn−1m−1C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}Cnm=Cn1m+Cn1m1,只有最后一个出现一次,其余出现两次

f(x,y)到f(x,y)到f(x,y)f(x,y±1)f(x,y \pm 1)f(x,y±1)很好转移

然后跑莫队即可

复杂度O(NT)O(N \sqrt{T})O(NT)

在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define MAXN 100005
#define MAX 100000
inline int read()
{int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans;
}
const int MOD=1e9+7;
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int qpow(int a,int p)
{int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD,p>>=1;}return ans;
}
int fac[MAXN],inv[MAXN];
void init()
{fac[0]=1;for (int i=1;i<=MAX;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;inv[MAX]=qpow(fac[MAX],MOD-2);for (int i=MAX-1;i>=0;i--) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%MOD;
}
inline int C(const int& n,const int& m){return (ll)fac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;}
int len;
struct query{int x,y,pos;}q[MAXN];
int res[MAXN];
inline bool operator <(const query& a,const query& b)
{if (a.x/len==b.x/len) return a.y<b.y;return a.x<b.x;
}
int main()
{init();int T,n=0;T=read();for (int i=1;i<=T;i++) n=max(n,q[i].x=read()),q[i].y=read(),q[i].pos=i;len=sqrt((ll)n*n/T);sort(q+1,q+T+1);int x=q[1].x,y=q[1].y,ans=0;for (int i=0;i<=y;i++) ans=(ans+C(x,i))%MOD;res[q[1].pos]=ans;for (int i=2;i<=T;i++){while (x<q[i].x) ans=(ans*2ll-C(x,y)+MOD)%MOD,++x;while (x>q[i].x) --x,ans=(ll)inv[2]*(ans+C(x,y))%MOD;while (y<q[i].y) ++y,ans=(ans+C(x,y))%MOD;while (y>q[i].y) ans=(ans+MOD-C(x,y))%MOD,--y;res[q[i].pos]=ans;}for (int i=1;i<=T;i++) printf("%d\n",(res[i]+MOD)%MOD);return 0;
}

由此题可知,莫队不只能处理区间,凡是方便相邻转移的函数都可以考虑莫队

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