传送门

题意：$T$组询问$N$个相同物品选不超过$K$个的方案数，$T,N\le 1e5$

设$f(x,y)={\sum }_{i=0}^y{C}_x^i$即所求

直接求并没有很好的性质

但我们发现:$f(x,y)=2f(x-1,y)-C_{x-1}^y$，即乘以二减去最后一个等于下一行

由$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$,只有最后一个出现一次，其余出现两次

而$f(x,y)到$$f(x,y\pm 1)$很好转移

然后跑莫队即可

复杂度$O(N\sqrt{T})$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define MAXN 100005
#define MAX 100000
inline int read()
{int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans;
}
const int MOD=1e9+7;
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int qpow(int a,int p)
{int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD,p>>=1;}return ans;
}
int fac[MAXN],inv[MAXN];
void init()
{fac[0]=1;for (int i=1;i<=MAX;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;inv[MAX]=qpow(fac[MAX],MOD-2);for (int i=MAX-1;i>=0;i--) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%MOD;
}
inline int C(const int& n,const int& m){return (ll)fac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;}
int len;
struct query{int x,y,pos;}q[MAXN];
int res[MAXN];
inline bool operator <(const query& a,const query& b)
{if (a.x/len==b.x/len) return a.y<b.y;return a.x<b.x;
}
int main()
{init();int T,n=0;T=read();for (int i=1;i<=T;i++) n=max(n,q[i].x=read()),q[i].y=read(),q[i].pos=i;len=sqrt((ll)n*n/T);sort(q+1,q+T+1);int x=q[1].x,y=q[1].y,ans=0;for (int i=0;i<=y;i++) ans=(ans+C(x,i))%MOD;res[q[1].pos]=ans;for (int i=2;i<=T;i++){while (x<q[i].x) ans=(ans*2ll-C(x,y)+MOD)%MOD,++x;while (x>q[i].x) --x,ans=(ll)inv[2]*(ans+C(x,y))%MOD;while (y<q[i].y) ++y,ans=(ans+C(x,y))%MOD;while (y>q[i].y) ans=(ans+MOD-C(x,y))%MOD,--y;res[q[i].pos]=ans;}for (int i=1;i<=T;i++) printf("%d\n",(res[i]+MOD)%MOD);return 0;
}

由此题可知，莫队不只能处理区间，凡是方便相邻转移的函数都可以考虑莫队