杜教筛复杂度证明

我们实际上求的是这玩意

T(n)=n+∑i=1n(T(i)+T(ni))T(n)=\sqrt{n}+\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}(T(i)+T(\frac{n}{i}))T(n)=n+i=1n(T(i)+T(in))

我们只需要考虑
T(n)=n+∑i=1n(i+ni)T(n)=\sqrt{n}+\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}(\sqrt i+\sqrt\frac{n}{i})T(n)=n+i=1n(i+in)
对于之后的项,如

T(n)=n14+∑i=1n14(i+ni)T(\sqrt n)=n^{1\over4}+\sum_{i=1}^{n^{1\over4}}(\sqrt i+\sqrt\frac{\sqrt n}{i})T(n)=n41+i=1n41(i+in)
只有O(n14)O(n^{1\over4})O(n41),n\sqrt{n}n个加起来也就O(n34)O(n^{3\over4})O(n43)

我们要求的实际上是

∑i=1n(i+ni)\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}(\sqrt i+\sqrt\frac{n}{i})i=1n(i+in)

前者明显小于后者,可以忽略

∑i=1nni\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}\sqrt\frac{n}{i}i=1nin

当积分算

∫0nnx\int_{0}^{\sqrt{n}}\sqrt\frac{n}{x}0nxn

为了方便后面叙述,我们设一个通式,即

S(m)=∫0mnxS(m)=\int_{0}^{m}\sqrt\frac{n}{x}S(m)=0mxn

g(x)=nxg(x)=\sqrt\frac{n}{x}g(x)=xn

运用你丰富的数学知识,得到原函数

f(x)=nxf(x)=\sqrt{nx}f(x)=nx

所以所求为

S(n)=f(n)=n34S(\sqrt n)=f(\sqrt n)=n^{3 \over 4}S(n)=f(n)=n43

如果我们预处理出前kkk个(假装k>nk>\sqrt nk>n),复杂度为

∑i=1nkni=S(nk)\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\sqrt\frac{n}{i}=S(\frac{n}{k})i=1knin=S(kn)

代入上面的结论

S(nk)=f(nk)=nkS(\frac{n}{k})=f(\frac{n}{k})=\frac{n}{\sqrt{k}}S(kn)=f(kn)=kn

加上预处理后总复杂度O(k+nk)O(k+\frac{n}{\sqrt{k}})O(k+kn)

k=n23k=n^{2 \over3}k=n32时有理论最优复杂度O(n23)O(n^{2\over3})O(n32)

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/315133.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

Codeforces Round #632 (Div. 2) E. Road to 1600 构造好题

传送门 文章目录题意:思路题意: 直接白嫖 思路 首先不难发现,n≤2n\le2n≤2的时候是无解的。 现在我们来构造n3n3n3的情况,通过打表可以发现如下矩阵是符合题目要求的: 179325486\begin{array}{ccc} 1&7&9…

SiteServer CMS 新版本 V6.11(2019年7月1日发布)

欢迎来到 SiteServer CMS V6.11版本(.NET CORE V7.0预览版本将推迟至2019年9月1日发布),经过两个月的连续迭代开发,V6.11 版本新增了采集插件以及多项BUG修复:SS.Gather 页面采集插件页面采集插件将在V6.11版本中正式提…

【NOI2016】循环之美【莫比乌斯反演】【整除分块】【杜教筛】【类杜教筛】

传送门 题意:给定n,m,kn,m,kn,m,k,求1≤x≤n,1≤y≤m1\leq x\leq n,1\leq y\leq m1≤x≤n,1≤y≤m时xyx \over yyx​中数值不同的纯循环小数或整数的个数。 n≤109,m≤109,k≤2103n \leq 10^9,m\leq10^9,k\leq2\times10^3n≤109,m≤109,k≤2103 显然只需要考虑最简…

P1020 [NOIP1999 普及组] 导弹拦截 Dilworth定理 + dp

传送门 文章目录题意:思路:题意: 思路: 对于第一问直接输出最长不严格下降子序列即可,第二问是Dilworth定理,变形比较多,之前也写过类似的,这里贴个证明。 //#pragma GCC optimiz…

参数传递机制之JWT

1. 什么是 JWTJWT 其全称为:JSON Web Token,简单地说就是 JSON 在 Web 上的一种带签名的标记形式。官方的定义如下:JSON Web Tokens are an open, industry standard RFC 7519 method for representing claims securely between two parties.…

【NOI2009】诗人小G【决策单调性dp】

传送门 设句子加上空格长度前缀和为sss 转移方程为 fimin⁡1≤j<i{fj∣si−sj−L−1∣P}f_i\min_{1\leq j<i}\{f_j|s_i-s_j-L-1|^P\}fi​1≤j<imin​{fj​∣si​−sj​−L−1∣P} 不难发&#xff08;cai&#xff09;现&#xff08;chu&#xff09;决策具有单调性 …

Codeforces Round #709 (Div. 1) B. Playlist 链表维护 + bfs

传送门 文章目录题意&#xff1a;思路&#xff1a;题意&#xff1a; 思路&#xff1a; 紧跟刘爷脚步补题。 不难想到用链表维护下一个数是什么&#xff0c;这样就跟以前做过的一个题差不多了&#xff0c;首先将初始的时候删掉的点的前一个点即为题目中的AAA入队&#xff0c;让…

浅谈ASP.NET Core中IOC与DI的理解和使用

说起IOC和DI,使用过ASP.NET Core的人对这两个概念一定不陌生&#xff0c;早前&#xff0c;自己也有尝试过去了解这两个东西&#xff0c;但是一直觉得有点很难去理解&#xff0c;总觉得对其还是模糊不清&#xff0c;所以&#xff0c;趁着今天有空&#xff0c;就去把两个概念捋清…

Codeforces Round #715 (Div. 1) C. Complete the MST 补图 + 思维 + 最小生成树

传送门 文章目录题意&#xff1a;思路题意&#xff1a; 给你一张nnn个点mmm个边的图&#xff0c;mmm条边是给定的&#xff0c;要求你给未给定的边赋值一个边权&#xff0c;使得所有边权异或和为000&#xff0c;求所有满足这种情况的图中最小生成树边权和最小的&#xff0c;输出…

一个通用数据库操作组件DBUtil(c#)、支持SqlServer、Oracle、Mysql、postgres、SQLITE

这是一个.net下操作数据库(结构数据库)的工具类&#xff0c;支持sqlserver、oracle、mysql、postgres、sqlite、access等常见数据库。注意&#xff1a;它并不是一个orm工具(常见的orm框架如&#xff1a;EF、Dapper等)。2.1 引入DBUtil依赖1. 首先打开vs(推荐vs2019)&#xff0c…

【NOI2012】迷失游乐园【概率期望】【换根dp】【基环树】

传送门 题意&#xff1a;给一棵nnn个点的带边权树或基环树&#xff0c;随机选一个点作为起点&#xff0c;每次随机走到一个相邻未走过的位置&#xff0c;直到无路可走。求期望路径长度。 n≤105n \leq 10^5n≤105,为基环树时环的大小不超过202020 先考虑树怎么做废话 先只考…

Educational Codeforces Round 37 (Rated for Div. 2) E. Connected Components? 暴力 + 补图的遍历

传送门 文章目录题意&#xff1a;思路&#xff1a;题意&#xff1a; n≤2e5,m≤2e5n\le2e5,m\le2e5n≤2e5,m≤2e5。 思路&#xff1a; 这是题是我上个题的一部分&#xff0c;算是个小知识点&#xff0c;暴力能过。 直接维护一个setsetset&#xff0c;让后遍历所有点&#xff…

初探System.Threading.Channels

。System.Threading.Channels是.Net Core基础类库中实现的一个多线程相关的库&#xff0c;专门处理数据流相关的操作&#xff0c;用来在生产者和订阅者之间传递数据&#xff08;不知道可不可以理解为线程间传递数据&#xff0c;我把它类比成了Go语言中的Channel&#xff09;&am…

【LOJ6033】棋盘游戏【二分图博弈】

传送门 显然是个二分图&#xff0c;设开始位置是左边&#xff0c;另一边是右边 那么先手是把左边挪到右边&#xff0c;后手是把右边挪到左边&#xff0c;不能挪的那方失败 结论&#xff1a;Alice必胜当且仅当开始位置不一定在最大匹配上 必要性&#xff1a; 如果开始位置不…

Codeforces Round #715 (Div. 1) B. Almost Sorted 找规律

传送门 文章目录题意&#xff1a;思路&#xff1a;题意&#xff1a; 思路&#xff1a; 找规律yydsyydsyyds。 一看没什么想法&#xff0c;所以打了个表&#xff0c;好家伙&#xff0c;不打不知道&#xff0c;一打不得了&#xff0c;下面是n6n6n6的符合要求的情况&#xff1a; …

SQL Server之索引解析(二)

、堆表堆表通过IAM连接一起&#xff0c;查询时全表扫描。1、1 非聚集索引结构叶子节点数据结构&#xff1a;行数据结构Rid&#xff08;8字节&#xff09;中间节点数据结构&#xff1a; &#xff08;非聚集非唯一索引&#xff09;行数据结构Page&#xff08;4&#xff09;2 Rid&…

【NOI2011】兔兔与蛋蛋的游戏【二分图博弈】

传送门 结论 不会有同一个棋子移动两次 反证法&#xff0c;对于第一个移动第二次的棋子 设两次移动之间(含)的移动的棋子为A1,A2,A3,……&#xff0c;AnA_1,A_2,A_3,……&#xff0c;A_nA1​,A2​,A3​,……&#xff0c;An​&#xff08;指棋子本身而非位置&#xff09; 因…

CF1528C dfs序+set维护

传送门 文章目录题意&#xff1a;思路&#xff1a;题意&#xff1a; 给你两棵有nnn个节点的树&#xff0c;我门记第一棵为aaa&#xff0c;第二棵为bbb&#xff0c;现在你有一个nnn个点都孤立的点集&#xff0c;两个点u,vu,vu,v可以连边当且仅当这两个点在aaa树中一个是另一个的…

纠正一个错误,分布式系统关注点第17篇

这里是Z哥的个人公众号每周五早8点 按时送达当然了&#xff0c;也会时不时加个餐&#xff5e;我的第「78」篇原创敬上今天来加个餐&#xff0c;紧急纠正一个错误。先和大家说一声抱歉&#xff1a;D昨晚睡觉前&#xff0c;惯例打开「订阅号助手」回复一些留言。有一位小伙伴提了…

【NOI2016】国王饮水记【贪心】【斜率优化】【决策单调性】

传送门 首先比h1h_1h1​小的肯定没用&#xff0c;直接无视 然后考虑合并的顺序 ①在无限制的情况下&#xff0c;合并多个不如一个一个合并 a<b<ca<b<ca<b<c时&#xff0c;ab2c2>abc3{{ab \over 2}c\over 2}>{{abc}\over 3}22ab​c​>3abc​ ②先…