Codeforces Round #724 (Div. 2) F. Omkar and Akmar 组合数学 + 博弈

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题意:

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思路:

首先我们先来研究一下这个游戏,手画几个会惊奇的发现,后手这个b怎么怎么画都赢啊???对,没错,就是怎么画都赢,下面我们来证明一下为什么后手怎么画都赢。
首先最终结束的局面一定是ababababababababab或者bababababababababa的形式的,让后在在其中穿插个空格,并且每个字母前面或后面最多只能加一个空格,注意最前面加空格了之后最后面就不能加空格了。
那么如果假设先手赢,那么最终的状态一定是有奇数个位置被放上了字母,那么一定存在去掉空格的两个相邻位置颜色相同,那么后手就可以将另一种颜色放入这个位置。所以后手必赢。
也可以这样理解,因为这是一个环,而且相同颜色不能相邻,那么最终的a,ba,ba,b数量一定是相等的。比如我们现在有xxxaaa,那么他们之间一定形成了xxx个空位置可以行动,我们放上bbb即可。
那么这个问题就转换成了求有多少个可行方案,这个可行方案一定是ababababababababab或者bababababababababa的形式,让后再插入若干个空格。
那么假设现在枚举的是进行了iii轮游戏结束,当然imod2=0i\bmod 2=0imod2=0,那么也就是有iii个位置放上了字母,n−in-ini个位置是是空格,首先iii个字母可以任意顺序的放上去,所以方案为i!i!i!。由于他们之间可能有空格,所以还需要算一下插入空格的贡献,让后乘起来。
由于是个环,且每两个数之间最多一个空格,所以我们需要讨论一下第一个位置是否为空格,分成如下两种情况:
(1)(1)(1)第一个数不是空格,那么我们可以从iii个位置找n−in-ini个位置放空格,答案为C(i,n−i)C(i,n-i)C(i,ni)
(2)(2)(2)第一个数是空格,那么代表第二个数和最后一个数不能为空格,所以现在有i−1i-1i1个位置,需要选n−i−1n-i-1ni1个位置放上空格,答案为C(i−1,n−i−1)C(i-1,n-i-1)C(i1,ni1)
由于最终形式有两种情况,也就是从左到右第一个是aaa还是bbb两种情况,所以最终答案就是ans=2∗∑i=1n(imod2==0)∗(i!)∗(C(i,n−i)+C(i−1,n−i−1))ans=2*\sum _{i=1}^n(i\bmod 2==0)*(i!)*(C(i,n-i)+C(i-1,n-i-1))ans=2i=1n(imod2==0)(i!)(C(i,ni)+C(i1,ni1))

// Problem: F. Omkar and Akmar
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #724 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/problemset/problem/1536/F
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
//#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<set>
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#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<random>
#include<cassert>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define Mid ((tr[u].l+tr[u].r)>>1)
#define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1)
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define db puts("---")
using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); }
//void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); }
//void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;const int N=1000010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-6;int n;
LL fun[N],inv[N];LL qmi(LL a,LL b) {LL ans=1;while(b) {if(b&1) ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;
}LL C(int n,int m) {if(n<0||n<m) return 0;return fun[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}int main()
{
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0);fun[0]=1;for(int i=1;i<N;i++) fun[i]=fun[i-1]*i%mod;inv[N-1]=qmi(fun[N-1],mod-2);for(int i=N-2;i>=0;i--) inv[i]=(i+1)*inv[i+1]%mod;int n; cin>>n;LL ans=0;for(int i=2;i<=n;i+=2) ans+=2*fun[i]%mod*((C(i,n-i)+C(i-1,n-i-1))%mod)%mod,ans%=mod;cout<<ans<<endl;return 0;
}
/**/

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