传送门
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- 题意:
- 思路:
题意:
思路:
首先我们先来研究一下这个游戏,手画几个会惊奇的发现,后手这个b怎么怎么画都赢啊???对,没错,就是怎么画都赢,下面我们来证明一下为什么后手怎么画都赢。
首先最终结束的局面一定是ababababababababab或者bababababababababa的形式的,让后在在其中穿插个空格,并且每个字母前面或后面最多只能加一个空格,注意最前面加空格了之后最后面就不能加空格了。
那么如果假设先手赢,那么最终的状态一定是有奇数个位置被放上了字母,那么一定存在去掉空格的两个相邻位置颜色相同,那么后手就可以将另一种颜色放入这个位置。所以后手必赢。
也可以这样理解,因为这是一个环,而且相同颜色不能相邻,那么最终的a,ba,ba,b数量一定是相等的。比如我们现在有xxx个aaa,那么他们之间一定形成了xxx个空位置可以行动,我们放上bbb即可。
那么这个问题就转换成了求有多少个可行方案,这个可行方案一定是ababababababababab或者bababababababababa的形式,让后再插入若干个空格。
那么假设现在枚举的是进行了iii轮游戏结束,当然imod2=0i\bmod 2=0imod2=0,那么也就是有iii个位置放上了字母,n−in-in−i个位置是是空格,首先iii个字母可以任意顺序的放上去,所以方案为i!i!i!。由于他们之间可能有空格,所以还需要算一下插入空格的贡献,让后乘起来。
由于是个环,且每两个数之间最多一个空格,所以我们需要讨论一下第一个位置是否为空格,分成如下两种情况:
(1)(1)(1)第一个数不是空格,那么我们可以从iii个位置找n−in-in−i个位置放空格,答案为C(i,n−i)C(i,n-i)C(i,n−i)。
(2)(2)(2)第一个数是空格,那么代表第二个数和最后一个数不能为空格,所以现在有i−1i-1i−1个位置,需要选n−i−1n-i-1n−i−1个位置放上空格,答案为C(i−1,n−i−1)C(i-1,n-i-1)C(i−1,n−i−1)。
由于最终形式有两种情况,也就是从左到右第一个是aaa还是bbb两种情况,所以最终答案就是ans=2∗∑i=1n(imod2==0)∗(i!)∗(C(i,n−i)+C(i−1,n−i−1))ans=2*\sum _{i=1}^n(i\bmod 2==0)*(i!)*(C(i,n-i)+C(i-1,n-i-1))ans=2∗∑i=1n(imod2==0)∗(i!)∗(C(i,n−i)+C(i−1,n−i−1))。
// Problem: F. Omkar and Akmar
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #724 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/problemset/problem/1536/F
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 3000 ms
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