一个没啥用的东西，权当加深对数论函数和狄利克雷卷积的理解。

定义

序列 {f1,f2,…}\{f_1,f_2,\dots\}{f1​,f2​,…} 的狄利克雷生成函数 DGF 定义为

$$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{f_n}{n^s}$$

这里不要求 $f$ 是积性函数。

显然两个序列的狄利克雷卷积的 DGF 等于它们 DGF 的乘积。

为什么 $n^s$ 要写在下面？

本质上写上面也没啥区别，但是在这之前有个叫黎曼的数学家整了个叫 Zeta 的函数（马上就会讲到），为了让收敛的形式好看一点就定义成了分数。后来大家就沿用了这一习惯。

本文中为了方便起见，可能会混用 $n^{-s}$ 的写法。

黎曼 Zeta 函数

黎曼 Zeta 函数定义为

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$$

对就是那个臭名昭著的猜想里面的那个函数。

不难看出 Zeta 函数是恒等函数 $I(n)=1$ 的 DGF，这和 OGF 的 $\frac{1}{1-x}$,EGF 的 $e^x$ 有着同样的地位，是 DGF 理论的基石。

DGF 与积性函数

既然是狄利克雷卷积，我们希望这个能与积性函数的理论扯上关系。

以 Zeta 函数为例，我们把每个 $n$ 质因数分解，然后考虑每个质数 $p$ 的贡献，不难得到

$$\begin{gathered} \zeta (s)=\prod _{p\in prime}\sum _{i=0}^{\infty }\frac{1}{p^{is}} \\ =\prod _{p\in prime}\frac{1}{1-p^{-s}} \end{gathered}$$

其他积性函数也可以用类似方法转成一个伪封闭形式。

常见数论函数函数的 DGF

• 莫比乌斯函数 $\mu$

$$\prod _{p\in prime}(1-p^{-s})=\frac{1}{\zeta (s)}$$

莫比乌斯反演有四种证法，你都知道么

• $id(n)=n$

$$\sum _{i=1}^{\infty }\frac{n}{n^s}=\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{n^{s-1}}=\zeta (s-1)$$

类似的有 $k$ 次幂函数 $i{d}_k(n)=n^k$ 的 DGF 是 $\zeta (s-k)$

• 欧拉函数 $\phi$

$$\begin{gathered} \prod _{p\in prime}\left(1+\sum _{i=1}^{\infty }\frac{(p-1)p^{i-1}}{p^{is}}\right) \\ =\prod _{p\in prime}\left(1+\sum _{i=1}^{\infty }\frac{p^i-p^{i-1}}{p^{is}}\right) \\ =\prod _{p\in prime}\left(1+\sum _{i=1}^{\infty }{p}^{i(1-s)}-\sum _{i=1}^{\infty }{p}^{i(1-s)-1}\right) \\ =\prod _{p\in prime}\left(1+\frac{p^{1-s}}{1-p^{1-s}}-\frac{p^{-s}}{1-p^{1-s}}\right) \\ =\prod _{p\in prime}\left(1+\frac{p^{1-s}-p^{-s}}{1-p^{1-s}}\right) \\ =\prod _{p\in prime}\frac{1-p^{-s}}{1-p^{1-s}} \\ =\frac{\zeta (s-1)}{\zeta (s)} \end{gathered}$$

• 约数个数 $d$: ${\zeta }^2(s)$
• 约数和 $\sigma$:$\zeta (s)\zeta (s-1)$

然后你就可以发现一些类似于 “欧拉函数卷约数个数等于约数和” 的奇怪的东西。

DGF 乘法

和 DGF 没啥关系，直接用数论函数暴卷即可，复杂度是 $O(n\log n)$ 的。

或者用一种类似高维前缀和的做法，可以做到 $O(n\log \log n)$，不过没啥用。

DGF 除法

设数论函数（注意不是 DGF） $F(n),G(n)$,求 $H$ 使得 $F=H\ast G$

即

$$F_n=\sum _{d\mid n}{H}_d{G}_{\frac{n}{d}}$$

$$H_n{G}_1=F_n-\sum _{d\mid n,d<n}{H}_d{G}_{\frac{n}{d}}$$

算出一个 $H_n$ 就暴力枚举倍数更新，复杂度是 $O(n\log n)$

DGF 求导与积分

对每一项

$$\frac{f_n}{n^s}$$

对 $s$ 求导

$$-\ln n\cdot \frac{f_n}{n^s}$$

积分

$$-\frac{1}{\ln n}\frac{f_n}{n^s}$$

$n=1$ 要特殊处理一下。

这个 $\ln$ 不好搞，但我们的求导和积分都是成对出现的，这个 $\ln$ 一定可以用换底公式消掉，所以我们只需要维护它们的倍数关系就可以了。

也就是说，用来代替的 $f$ 只需要满足 $f(1)=0,f(ab)=f(a)+f(b)$,且在大于 $1$ 的数内不能有零点（否则一不小心除数就会变成 $0$）。可以用质因子次数和来实现。

连负号都不用加。

DGF 对数

$$\ln (F(s))=\int \frac{F^{\prime }(s)}{F(s)}ds$$

DGF 指数

$$\begin{gathered} G(s)=\exp (F(s)) \\ {G}^{\prime }(s)=F^{\prime }(s)\exp (F(s))=F^{\prime }(s)G(s) \end{gathered}$$

设 $F,G$ 对应的数论函数为 $f_n,g_n$。

设质因子个数函数为 $c_n$（用来代替 $\ln$ 的那个）

$$c_n{g}_n=\sum _{d\mid n}{g}_{\frac{n}{d}}{c}_d{f}_d$$

$d=1$ 的时候 $c_d=0$ 没有贡献，和除法一样算出一个更新一个就可以了。

例题：「EC Final 2019」狄利克雷 k 次根 加强版

后面可能会写点更实际的应用，比如帮你一眼看出怎么卷杜教筛之类的。先咕着。