【NOI2007】货币兑换【任意坐标斜率优化】【CDQ分治】

题意:有 A,B 两种金券,给出 nnn 天内分别的单位价格和可以购买的数量的比例。开始有 SSS 元,求 nnn 天后最多能有多少元。

提示:每次操作一定全买全卖

n≤105n\leq 10^5n105

fnf_nfn 表示第 nnn 天结束后手上最多有多少钱,允许之前某一天卖完后不动留到第 nnn 天。

转移时如果第 nnn 天没卖,就留下 fn−1f_{n-1}fn1;否则枚举卖出去的金券是哪天买的。

fi=max⁡{fi−1,max⁡1≤j<i(aixj+biyj)}f_i=\max \{f_{i-1},\max_{1\leq j<i} (a_ix_j+b_iy_j)\}fi=max{fi1,1j<imax(aixj+biyj)}

其中 xj,yjx_j,y_jxj,yj 表示在第 jjj 天两种金券最大能买到的数量,显然能同时取最大值。

xi=rifiriai+bi,yi=firiai+bix_i=\frac{r_if_i}{r_ia_i+b_i},y_i=\frac{f_i}{r_ia_i+b_i}xi=riai+birifi,yi=riai+bifi

考虑一个决策算出的值为 ttt

t=aixj+biyjt=a_ix_j+b_iy_jt=aixj+biyj

yj=−aibixj+tbiy_j=-\frac {a_i}{b_i}x_j+\frac t{b_i}yj=biaixj+bit

也就是过 (xj,yj)(x_j,y_j)(xj,yj) 斜率为 −aibi-\frac{a_i}{b_i}biai 的直线中截距最大的

考虑斜率优化,维护一个上凸壳即可

xxx 坐标不单调,需要用平衡树/李超线段树/CDQ分治

本文采用 CDQ 分治

核心思想是按 xxx 递增顺序维护左半边的点,用单调栈现求凸壳,右边维护单调递增的询问斜率并查询。

具体而言,因为斜率是输入时就确定的,先在外面把斜率从小到大排序,分治时当前区间是对应的真实标号的区间按斜率排序后的结果。然后

  1. 用类似快排的东西分出左右部分
  2. 分治左半边
  3. 求左半边对右边的贡献,即左半边求凸壳,右边再在凸壳上扫一遍。
  4. 分治右半边
  5. xxx 坐标归并两边的点

复杂度 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define MAXN 100005
using namespace std;
const double eps=1e-9,inf=1e9;
double f[MAXN];
struct node{double x,y,k,a,b,r;int id;}p[MAXN],t1[MAXN],t2[MAXN];
inline bool cmp(const node& x,const node& y){return x.k<y.k;}
inline double slope(const node& a,const node& b)
{if (fabs(a.x-b.x)<eps) return inf;return (a.y-b.y)/(a.x-b.x);
}
void solve(int l,int r)
{if (l==r){f[l]=max(f[l],f[l-1]);p[l].y=f[l]/(p[l].r*p[l].a+p[l].b);p[l].x=p[l].y*p[l].r;return;}int mid=(l+r)>>1;int cnt1=0,cnt2=0;for (int i=l;i<=r;i++)if (p[i].id<=mid) t1[++cnt1]=p[i];else t2[++cnt2]=p[i];for (int i=1;i<=cnt1;i++) p[l+i-1]=t1[i];for (int i=1;i<=cnt2;i++) p[mid+i]=t2[i];solve(l,mid);int tp=0;for (int i=l;i<=mid;i++) {while (tp>1&&slope(t1[tp-1],t1[tp])+eps<slope(t1[tp],p[i])) --tp;t1[++tp]=p[i];	} for (int i=mid+1;i<=r;i++){while (tp>1&&slope(t1[tp-1],t1[tp])<=p[i].k+eps) --tp;f[p[i].id]=max(f[p[i].id],p[i].a*t1[tp].x+p[i].b*t1[tp].y);}solve(mid+1,r);cnt1=l,cnt2=mid+1,tp=l;while (cnt1<=mid||cnt2<=r)if (cnt1<=mid&&(cnt2>r||p[cnt1].x<p[cnt2].x+eps)) t1[tp++]=p[cnt1++];else t1[tp++]=p[cnt2++];for (int i=l;i<=r;i++) p[i]=t1[i];
}
int main()
{int n;scanf("%d%lf",&n,&f[0]);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&p[i].a,&p[i].b,&p[i].r),p[i].k=-p[i].a/p[i].b,p[i].id=i;sort(p+1,p+n+1,cmp);solve(1,n);printf("%.3f",f[n]);return 0;
}

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