143. 质数判定__模板题链接

前置知识

费马小定理：$p$是质数，则对于任意的$a$，$a$与$p$互质，则有$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

二次探测定理：如果$p$是一个质数，$x^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，则有解为$x_1=1,x_2=p-1$，推理如下

$\Rightarrow x^2-1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

$\Rightarrow p\mid x^2-1$

$\Rightarrow p\mid (x-1)(x+1)$

$\Rightarrow x_1=1,x_2=p-1$

同样的我们即可反证：如果$x^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，并且$x!=1，x!=n-1$，那么我们一定可以认定$p$不是质数。

miller_radin的实现

对于一个质数$p$，我们显然可以得到$p-1=2^{s}d$的形式，$d$是奇数。

我们在$[2,n)$中随机选取一个数$a$，显然有$a^{p-1}=a^{2^{s}d}=((((a^d{)}^2{)}^{\dots \dots }{)}^2)$。

所以我们可以从$a^d$开始，做$s$次二次探测，如果二次探测失败，我们直接得到这个数不止质数，当二次探测完成时，我们再做一次费马小定理的特判，判断该数是不是质数。

miller_rabin 模板代码

ll quick_mult(ll a, ll b, ll mod) {ll ans = 0;while(b) {if(b & 1) ans = (ans + a) % mod;a = (a + a) % mod;b >>= 1;}return ans;
}ll quick_pow(ll a, ll n, ll mod) {ll ans = 1;while(n) {if(n & 1) ans = quick_mult(ans, a, mod);a = quick_mult(a, a, mod);n >>= 1;}   return ans;
}bool miller_rabin(ll n) {if(n == 2) return true;if(n < 2 || !(n & 1)) return false;ll s = 0, d = n - 1;while(!(d & 1)) {d >>= 1;s++;}srand(time(0));for(int i = 1; i <= 5; i++) {ll a = rand() % (n - 2) + 2;ll now = quick_pow(a, d, n), pre = now;for(int j = 1; j <= s; j++) {now = quick_mult(now, now, n);if(now == 1 && pre != 1 && pre != n - 1) return false;pre = now;}if(now != 1) return false;}return true;
}