逆元

求解一（费马小定理）

$p$是一个质数，并且$a\%p\ne 0$，则有$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，$a^{p-2}\equiv a^{-1}$，即可得到逆元。

int quic_pow(int a, int n, int mod) {int ans = 1;while(n) {if(n & 1) ans = (ans * a) % mod;a = (a * a) % mod;n >>= 1;}return ans;
}
int inv(int a, int p) {return quick_pow(a, p - 2, p);
}

求解二（拓展欧几里德）

我们知道拓展欧几里德算法可以求解$ax+by=gcd(a,b)$，对逆元考虑假设有$a\ast x+b\ast y=1$那么显然有$a\ast x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$，这不就出来了吗，$x$就是$a$模$b$下的逆元，当然了这里也要有$a,b$互质。

int exgcd(int a, int b, int & x, int & y) {if(!b) {x = 1, y = 0;return a;}int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);int temp = x;x = y;y = temp - a / b * y;return gcd;
}
int main() {int a, mod, inv, t;exgcd(a, mod, inv, t);return 0;
}

求解三（线性求解逆元）

我们假定有$$mod=k\ast a+b,k=\frac{mod}{a},b=mod\%a，b<a$$

$$k\ast a+b\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}mod)$$

同时乘以$$a^{-1}{b}^{-1}$$

得$$k\ast b^{-1}+a^{-1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}mod)$$

$$a^{-1}\equiv -k\ast b^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}mod)$$

$$a^{-1}\equiv mod\ast b^{-1}-k\ast b^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}mod)$$

所以我们就推导完了。

int inv[n], mod = 100007, n = mod;
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < n; i++) {inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
}

求解四（$C_n^m$中的逆元求解）

$a{!}^{-1}=n$那么我们不难发现$(a-1){!}^{-1}=a{!}^{-1}\ast a$

void init() {fac[0] = 1;for(int i = 1; i < N; i++)fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mod;inv[N - 1] = qpow(fac[N - 1], mod - 2);for(int i = N - 2; i >= 0; i--)inv[i] = (inv[i + 1] * (i + 1)) % mod;
}