2019牛客暑期多校训练营（第五场）C generator 2

思路

$$x_0=x_0$$

$$x_1=a\ast x_0\ast b$$

$$x_2=a\ast x_1+b=a^2\ast x_0+a\ast b+b$$

容易发现后项是一个等比数列求和

$$x_n=a^n{x}_0+\frac{b(1-a^n)}{1-a}$$

我们要求$x_n=v$，化简

$$a^n{x}_0+\frac{b(1-a^n)}{1-a}=v$$

$$a^n{x}_0(1-a)+b(1-a^n)=v(1-a)$$

$$a^n(x_0-a{x}_0-b)=v(1-a)-b$$

$$a^n=\frac{v(1-a)-b}{x_0-a{x}_0-b}$$

上面式子都是$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$下的同余等式，为了方便写了$=$

看到这里就简单了，我们要求解的是$n$，显然右边这一坨都是已知的，我们假定为$B$，求解$a^n=B$，这不就是个裸题了吗。

这道题目还要稍加分类讨论一下：

• a == 0

$x_0=x_0,x_i=b(i>=1)$

• $a==1$

因为这种情况上面不能直接相除，所以我们需要特殊考虑$a_i=b+i\ast a$

也就是求解$i\ast a=v-b$，这个时候只要左右两边同时乘以$a$的逆元即可得到我们要的$i$

代码

/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define endl '\n'using namespace std;typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;inline ll read() {ll f = 1, x = 0;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);c = getchar();}return f * x;
}void print(ll x) {if(x < 10) {putchar(x + 48);return ;}print(x / 10);putchar(x % 10 + 48);
}ll quick_pow(ll a, ll n, ll mod) {ll ans = 1;while(n) {if(n & 1) ans = (ans * a) % mod;a = (a * a) % mod;n >>= 1;}return ans;
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);int T = read();while(T--) {ll n = read(), x0 = read(), a = read(), b = read(), p = read();ll x = 1, Unit = quick_pow(a, 1000, p);unordered_map<ll, int> MP;for(int i = 1; i <= 1000000; i++) {x = (x * Unit) % p;if(!MP.count(x)) {MP[x] = i * 1000;}}ll inv = quick_pow(((x0 - a * x0 - b) % p + p) % p, p - 2, p);int t = read();while(t--) {ll v = read();if(a == 0) {if(v % p == x0 % p) {puts("0");}else if(v % p == b % p) {puts("1");}else {puts("-1");}continue;}if(a == 1) {ll ans = (((((v - x0) % p + p) % p) * quick_pow(b, p - 2, p))) % p;if(ans < n) {printf("%lld\n", ans);}else {puts("-1");}continue;}v = (((v * (1 - a) - b) % p + p) % p * inv) % p;if(Unit == 0) {if(v == 0) {puts("0");}else {puts("-1");}continue;}x = v;int ans = p + 1;for(int i = 0; i <= 1000; i++) {if(MP.count(x)) {ans = min(ans, MP[x] - i);}x = (x * a) % p;}if(ans != p + 1 && ans < n) {printf("%d\n", ans);}else {puts("-1");}}}return 0;
}