P2231 [HNOI2002]跳蚤

给定一个长度为n+1的一列数，第n+1位为m，前n位小于m
求解使得他n+1个数的加减可以凑出1的方案数

首先可以凑出1，这显然是裴蜀定理，推一推就发现他要求所有数的gcd为1
那么对于要求gcd恰为x的计数问题，我们常见套路就是钦定所有数是x的倍数，然后利用莫比乌斯反演来求解。

但是注意这里指定了一个元素m，那么可以发现当x不是m的因子时，f[x]=0,所以我们可以改写一下这个式子。得到：
$$g(1)=\sum _{d|m}(\frac{m}{d}{)}^n\mu (d)$$
然后我们发现它是一个卷积的形式，我们考虑怎么求解，如果暴力求就是O(m)的，但是我们巧妙地转化一下，就可以发现对于μ来说如果有平方因子就是0，所以我们只需要枚举质因子的子集即可。$O(\sqrt{m}+2^{w(m)}\log n)$

这启示我们遇到含μ和一个容易计算的式子的时候应该暴力,这告诉我们对于特殊的卷积，有不同的求解方法。

然后其实这个式子还可以推一推，然后得到一个类似φ的形式。