#6207. 米缇

推式子

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{d}_K(ij) \\ \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{x\mid i}\sum _{y\mid j}[gcd(x,y)=1]{\frac{i}{x}}^k{y}^k \\ \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{x\mid i}\sum _{y\mid j}\sum _{d\mid gcd(x,y)}\mu (d){\frac{i}{x}}^k{y}^k \\ \sum _{d=1}^n\mu (d)d^k\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{x\mid i}{\frac{i}{x}}^k\sum _{j=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{y\mid i}{y}^k \\ \sum _{d=1}^n\mu (d)d^k\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{x\mid i}{x}^k\sum _{j=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{y\mid i}{y}^k \\ \sum _{d=1}^n\mu (d)d^k(\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{x\mid i}{x}^k{)}^2 \\ \sum _{d=1}^n\mu (d)d^k(\sum _{x=1}^{\frac{n}{d}}{x}^k\sum _{x\mid i}{)}^2 \\ \sum _{d=1}^n\mu (d)d^k(\sum _{x=1}^{\frac{n}{d}}{x}^k\sum _{x=1}^{\frac{n}{xd}}{)}^2 \\ \sum _{d=1}^n\mu (d)d^k(\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}{i}^k\frac{n}{id}{)}^2 \end{gathered}$$

考虑求$\sum _{i=1}^n\mu (i)i^k$我们卷上$Ii{d}^k$得到$S(n)=1-\sum _{i=2}^n{i}^{k}S(\frac{n}{i})$这一项可以通过拉格朗日插值跟杜教筛得到。

考虑求$\sum _{i=1}^n{i}^k\frac{n}{i}$，我们可以通过数论分块加拉格朗日插值来求。

注意这题拉格朗日插值求值同样也上记忆化。

代码

待补......