多项式牛顿迭代

给定多项式$g(x)$，求$f(x)$，满足$g(f(x))\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$。

泰勒展开

对于现有得$f(x)$，构造一个多项式$g(x)$，使得$f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x)$，也就是两者得$n$阶导数是相等的。

假设$g(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}+a_n{x}^n$

考虑通过$(0,f(0))$来构造，显然有$g(0)=a_0=f(0)$，对任意阶倒数相同有$g^{(n)}=n!a_n=f^{(n)}(0)$，则$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$

所以构造出$g(x)=f(0)+\frac{f^{(1)}(0)}{1!}x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}{x}^{n-1}+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n\dots$

对于任意点$(x_0,f(x_0))$，可得$g(x)=f(0)+\frac{f^{(1)}(0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}(x-x_0{)}^{n-1}+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x-x_0{)}^n\dots$

牛顿迭代

迭代求函数零点

对于$f(x)$，任意选取一个点$(x_0,f(x_0))$作为当前我们预估的零点，取他的泰勒展开前两项$g(x)=f(0)+f^{\prime }(x)(x-x_0)$，

解出方程$g(x)=0$，得到$x_1$，然后重复上述操作，最后$x_n$会趋近于我们所要的正解。

考虑如何应用到多项式上

边界条件$n=1$时，$[x^0]g(f(x))=0$，的解单独求出。

假设我们已经求得膜$x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$下的解$f_0(x)$，要求膜$x^n$下的解$f(x)$，得到该点的泰勒展开：
$$\begin{gathered} \sum _{i=0}^{\infty }\frac{g^{(i)}(f_0(x))}{i!}(f(x)-f_0(x){)}^n \\ f(x)-f_0(x)前面的项已经被截了,所以最低次幂是大于\lceil \frac{n}{2}\rceil 的 \\ 有(f(x)-f_0(x){)}^i\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n),i>=2 \\ 有g(f_0(x))+g^{\prime }(f_0(x))(f(x)-f_0(x))\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv f_0(x)-\frac{g(f_0(x))}{g^{\prime }(f_0(x))}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \end{gathered}$$

应用

多项式求逆

$$\begin{gathered} 对于给定的h(x)， \\ 有g(f(x))=\frac{1}{f(x)}-h(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv f_0(x)-\frac{\frac{1}{f_0(x)}-h(x)}{-\frac{1}{f_0^2(x)}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv 2f_0(x)-h(x)f_0^2(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv f_0(x)(2-h(x)f_0(x))(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \end{gathered}$$

多项式开根

$$\begin{gathered} 对于给定的h(x) \\ 有g(f(x))=f^2(x)-h(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv f_0(x)-\frac{f_0^2(x)-h(x)}{2f_0(x)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}()x^n) \\ f(x)\equiv \frac{f_0^2(x)+h(x)}{2f_0(x)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv 2^{-1}{f}_0(x)+2^{-1}h(x)f_0^{-1}(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \end{gathered}$$

多项式$\exp$

$$\begin{gathered} 对于给定的h(x) \\ 有g(f(x))=\ln f(x)-h(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv f_0(x)-\frac{\ln f_0(x)-h(x)}{\frac{1}{f_0(x)}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \\ f(x)\equiv f_0(x)(1-\ln f_0(x)+h(x))(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n) \end{gathered}$$