生成函数简单入门

生成函数

可表示为 $\sum\limits_{n} a_n k_n(x)$ ，对于不同类型的生成函数，有不同的核函数 $k_n(x)$ 。

普通生成函数： $k_n(x) = x ^ n$ 。

指数生成函数： $kn(x)=xnn!k_n(x) = \frac{x ^ n}{n !}$ 。

迪利克雷生成函数： $kn(x)=1nxk_n(x) = \frac{1}{n ^ x}$ 。

普通生成函数

封闭形式

在运用生成函数的过程中，我们不会一直使用形式幂级数的形式，而会适时地转化为封闭形式以更好地化简。

对于 $\dots>$ 的普通生成函数 $\sum\limits_{0 \leq n} x ^ n$ ， $F (x) x + 1 = F (x)$ ， $\frac{1}{1 - x}$

一些函数的封闭形式化简

$\dots>$

$\sum\limits_{n \geq 0} p ^ n x ^ n, F(x) px + x = F(x), F(x) = \frac{x}{1 - px}$

$\dots>$

$\sum\limits_{n \geq 1} x ^ n,xF(x) + x = F(x), F(x) = \frac{x}{1 - x}$

$\dots>$

$\sum\limits_{n \geq 0} x ^ {2n}, F(x)x ^ 2 + 1 = F(x), F(x) = \frac{1}{1 - x ^ 2}$

$\dots>$

$\sum\limits_{n \geq 0} (n + 1) x ^ n, F(x) - xF(x) = \sum\limits_{n \geq 0} x ^ n = \frac{1}{1 - x}, F(x) = \frac{1}{(1 - x) ^ 2}$

$an=(nm)(m是常数，n≥0)a_n = (_n ^ m)(m是常数，n \geq 0)$

$\sum\limits_{n \geq 0} C_m ^n x ^ n, 二项式定理有F(x) = (1 + x) ^ m$

$an=(nn+m)(m是常数，n≥0)a_n = (_n ^{n + m})(m是常数，n \geq 0)$

$\sum\limits_{n \geq 0} C_{n + m} ^{n} x ^ n, F(x) = \frac{1}{(1 - x) ^{m + 1}}$

斐波那契数列生成函数

$a_0 + a_1x + a_2 x ^ 2 + \dots\\ xF(x) = a_0x + a_1x ^ 2 + a_2 x ^ 3 + \dots\\ x ^ 2 F(x) = a_0 x ^ 2 + a_1 x ^ 3 + a_2 x ^ 4 + \dots\\ F(x) = xF(x) + x ^ 2 F(x) + a_0\\ F(x) = \frac{1}{1 - x - x ^ 2}\\ 求解1 - x - x ^ 2 = (1 - ax)(1 - bx)，得到a = \frac{1 + \sqrt 5}{2}, b = \frac{1 - \sqrt 5}{2}\\ F(x) = \frac{1}{1 - x - x ^ 2} = \frac{A}{1 - ax} + \frac{B}{1 - bx}\\ 解得A = \frac{1}{\sqrt n} a, B = -\frac{1}{\sqrt 5}b\\ 有F(x) = \frac{a}{\sqrt 5} \frac{1}{1 - ax} - \frac{b}{\sqrt 5} \frac{B}{1 - bx}\\ 由\sum\limits_{n \geq 0} C_{n + m} ^{n} x ^ n = \frac{1}{(1 - x) ^{m + 1}}\\ 可解得斐波那契生成函数的第n项系数，a_n = \frac{a}{\sqrt 5} a ^ n - \frac{b}{\sqrt 5} b ^ n\\ a_n = \frac{1}{\sqrt 5}((\frac{1 + \sqrt 5}{2}) ^ {n + 1} - (\frac{1 - \sqrt 5}{2}) ^{n + 1})\\$

一道生成函数模板题

由题意可列出式子
$∑n≥0x6n=11−x6∑n≥09xn=x10−1x−1∑n≥05xn=x6−1x−1∑n≥0x4n=11−x4∑n≥07=x8−1x−1∑n≥0x2n=11−x2∑n≥01xn=x2−1x−1∑n≥0x8n=11−x8∑n≥0x10n=11−x10∑n≥03=x4−1x−1全部乘起来得到1(1−x)5得到第n项为Cn+4n=Cn+44\sum_{n \geq 0} x ^ {6n} = \frac{1}{1 - x ^ 6}\\ \sum_{n \geq 0} ^{9} x ^ n = \frac{x ^ {10} - 1}{x - 1}\\ \sum_{n \geq 0} ^{5} x ^ n = \frac{x ^ 6 - 1}{x - 1}\\ \sum_{n \geq 0} x ^{4n} = \frac{1}{1 - x ^ 4}\\ \sum_{n \geq 0} ^{7} = \frac{x ^ 8 - 1}{x - 1}\\ \sum_{n \geq 0} x ^{2n} = \frac{1}{1 - x ^ 2}\\ \sum_{n \geq 0} ^{1} x ^ n = \frac{x ^ 2 - 1}{x - 1}\\ \sum_{n \geq 0} x ^{8n} = \frac{1}{1 - x ^ 8}\\ \sum_{n \geq 0} x ^{10 n} = \frac{1}{1 - x ^{10}}\\ \sum_{n \geq 0} ^{3} = \frac{x ^ 4 - 1}{x - 1}\\ 全部乘起来得到\frac{1}{(1 - x) ^ 5}\\ 得到第n项为C_{n + 4} ^{n} = C_{n + 4} ^{4}\\$