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一、相似矩阵

根据矩阵表示定理，我们知道任意向量空间上的任意线性变换都可以用一个相应的矩阵表示；但一个棘手的问题是，在应用这个定理时，我们不可避免地需要先知道空间的一组基，才能确定出我们想要的表示矩阵。也就是说，对于作用在向量空间

上的一个线性变换，选取的空间

的基的不同会导致其表示矩阵的不同。因此，我们想解决这样一个问题：在不同的基下，同一个线性变换的不同表示矩阵之间是否存在着某种关联？

解决这个问题的思路是清晰的，我们可以先把问题限制在线性算子

上。

首先，让我们假设

和

是向量空间

的两组有序基，并令

是

中的一个向量，且

，

。

接着，我们需要一个线性算子

，并设其相应于

和

的表示矩阵分别是

和

。

现在，我们设

和

；这时

和

只是向量

经过

作用后的像

在不同基下的坐标向量。因此，假设从基

到

的转移矩阵是

，那么我们有

，且

。于是我们就可以得到

由于这对任意

成立

，即

。

这里要注意，转移矩阵

是从

对应的基到

对应的基。假如

是从

对应的基到

对应的基，则关系式应变为

。

这样，我们就得到了下面一个简单的定理：

定理11.1 设

和

是向量空间

的两组有序基，并令

为

上的线性算子，其相应于

和

的表示矩阵分别是

和

，且从基

到

的转移矩阵是

，则

。

接下来，我们讨论更一般的情况，即

是从

到

的线性变换的情况。事实上，这种情况的推理和线性算子是基本相同的，因此我们直接给出下面定理（为了表示方便，用一个大写字母表示一组基）。

定理11.2 设

和

是向量空间

的两组有序基，同时

和

是向量空间

的两组有序基，并令

为从

到

的一个线性变换，其相应于

和

的表示矩阵是

，而相应于

和

的表示矩阵是

，且从

到

的转移矩阵是

，从

到

的转移矩阵是

，则

。

我们可以利用预习自学笔记-9中基变换的观点来解释定理11.2中的矩阵等式：对任意的

，令

，则有

。等式左端

（设为

）即表示矩阵

相应的线性变换（设为

）对

的效果，其中作用空间被“诠释”在一组基

下，而像空间则被“诠释”在基

下。

然而，矩阵

相应的线性变换也是

，但是为什么不能用

来表示

对

的效果呢？原因很简单，因为对于

来说，虽然它的作用空间和像空间和

是一样的，但是

“眼中”的作用空间被诠释在基

下，像空间被“诠释”在基

下，而

是

在基

下的坐标，基不同当然不能直接相乘。

那怎么办呢？我们当然是要获取

在基

下的坐标，这时从

到

的转移矩阵

就派上了用场。在预习自学笔记-9中，我们说明了

在基

下的坐标就是

（设为

），这样我们就能使用

来展示线性变换

对

的效果。然而变换后的结果

（设为

）和

还是有差距——像空间的基不同，因此再用转移矩阵

对

进行基变换（从

转到

），就得到了

，此时它和等式左端的另一个作用效果

就完全相同了。

我们也可以通过一个实际情况的类比来理解：假设中国某工厂对原材料

加工得到成品

并出口给美国，我们把这个“加工并出口”的过程抽象为一个变换

，它将原材料的价值变成为成品的价值。设原材料的价值为

，这个价值用人民币来量化为“成本”是

（一个数字），而成品的价值为

，用美元来量化成“售价”是

（一个数字），而变换

相应于“人民币”和“美元”的具体表现（从成本变换为售价）是

，即

，它是等式

在“人民币”和“美元”基准下的具体数字表现。

而在某一天，中国把工厂转移到了越南，但材料产地、加工技术、贸易情况完全不变，因此变换

是不变的，而且原材料的价值

也是不变的。但是由于工厂建在了越南，所以原材料的价值要用越南盾来量化为成本了，这样量化之后就是

；同时产品的出口地又变成了法国（假设出口给法美两国的过程没有区别），因此成品的售价要以欧元来记，这时成品的售价就变成了

，从而变换

相应于“越南盾”和“欧元”的具体表现（从成本变换为售价）就变成了

。

为了找到

和

之间的关系，我们有“越南盾到人民币的汇率”（1越南盾=X人民币）

和“欧元到美元的汇率”（1欧元=Y美元）

，这样就有

和

。从而，我们先将以越南盾计的成本换算成人民币，应用

变换为售价，并将所得的结果（以欧元计的售价）换算成美元，和我们直接在“人民币”和“美元”的基准下应用

的效果是一样的（因为两种情况下，原材料和成品的价值始终是一样的），这就意味着

，而这个等式的本质其实就是

。

在上述过程中，“人民币”“美元”“越南盾”“欧元”就承担了基的作用。

一个有趣的解释是，可逆矩阵

意味着对

作列变换，而可逆矩阵

意味着对

作行变换，由此可以得出，

是由

经过有限次初等行变换和初等列变换得到的。而进一步地，若

上只选定一组有序基，那么

，即

和

是列等价的；同理，若

上只选定一组有序基，那么

，即

和

是行等价的。

定义 设

和

均为

矩阵，若存在

可逆矩阵

和

可逆矩阵

，使得

，则称

与

等价。

显然，这里用

代替

得到的定义是相同的，我们这里使用

是为了隐性地表明这一定义的由来。

显然，等价关系具有对称性，因此我们可以称

和

是等价的。

我们可以看出，等价关系是对列等价关系与行等价关系的“整合”与推广。根据上面的讨论，我们可以对等价矩阵作出一种诠释：

• 等价矩阵是同一线性变换在其作用空间的不同基与像空间的不同基下的不同表示方法；
• 行等价矩阵是同一线性变换在其作用空间的不同基下的不同表示方法；
• 列等价矩阵是同一线性变换在其像空间的不同基下的不同表示方法。

而定理11.1中阐述的关系是一种特殊的等价关系，即

的情况。

定义 设

与

均为

方阵，若存在

可逆矩阵

，使得

，则称

与

相似。

注意，相似关系是对方阵而言的。

同样，相似关系具有对称性。类似于等价关系，我们也可以得到关于相似关系的解释：

• 相似矩阵是同一线性算子在其作用空间（同时也是像空间）的不同基下的不同表示方法。

介绍完相似关系的含义后，我们不妨看下面这个例子：

• 令
  为
  上的线性算子，其关于标准基的表示矩阵为
  ，求
  关于基
  的表示矩阵
  ，其中
  ，
  ，
  。

我们可以用两种方式求得

，分别是利用矩阵表示定理和定理11.1。比如，利用矩阵表示定理，我们可以得到

从而

可以看到

的每一列都是某一标准基向量的倍数，计算乘法

显然比作乘法

快得多。因此，这就要求我们找到一组合适的基，使得表示矩阵的形式尽量简单，这将是我们在以后需要解决的问题。

二、相似矩阵的性质

相似矩阵的性质都比较简单易得，我们在下面列出一些相似矩阵的性质。

若

和

为相似矩阵，则：

• 和
  是相似的；
• 对于任意正整数
  ，
  和
  是相似的；
• 若
  非奇异，则
  非奇异，且
  和
  是相似的；
• 对于任意实数
  ，
  和
  是相似的。
• ；

其中，在第四点的证明中只需注意到

即可。第四点和第五点结合起来可以得到推论：若

和

为相似矩阵，则

。

由最后一点可以知道，行列式是矩阵的相似不变量，其根本原因在于行列式满足

。那么，有没有其他的函数

，使得对任意矩阵

和

，有

呢？答案是肯定的，比如我们考虑下面的函数：

它满足

，因为

所以这个函数也是相似不变量。事实上，这个函数称作矩阵的迹，我们将在后面讨论到它。这个函数的提出绝不是偶然的，而是有深厚的代数背景，不过在线性代数中，我们暂时接触不到这一背景。

三、齐次坐标系

最后这一部分与相似性关系不大，它只是作为线性变换的一个应用而被提及。

我们再次重申，线性变换都可以用一个矩阵来表示。在图形学中，平面上一个点是用二维向量

储存起来的。而对于图形的简单操作大部分可以都是线性算子。例如，一个围绕原点逆时针

角度的旋转可以由一个旋转矩阵

来描述，缩放操作可以由一个对角矩阵

表示，而矩阵

意味着一个对称操作。但是，平移操作

却不是一个线性算子，它不能由一个矩阵表示。

这在计算机中是非常有害的——在计算机中，图形操作都是以矩阵形式识别和储存起来的。因此，我们要设法解决这个问题，让平移成为一个线性算子。

注意到若

，则对

的平移操作事实上得到的是向量

，我们无法用矩阵相乘的形式表示出这个变换。但是，假如我们增加一个维度，将平面上的点用一个三维向量

表示的话，平移变换就可以轻松地表示为3×3矩阵

，即

。这里用对

的行进行线性组合的方法最容易理解。

而其他类型的矩阵很容易适应这种改变，旋转矩阵只要写成

，缩放矩阵写成

，对称矩阵也如法炮制即可。这样，在这种表示方法下，所有对图形的基本操作都是线性变换，从而可以用矩阵——即一堆数——储存起来，这对于计算机而言是方便的。

对于平面上的点的表示方法容易拓展到高维空间。我们称这种表示方法为“齐次坐标系”，它在计算机图形学中具有重要应用。

至此，我们了解了看待矩阵

的另一个方式：一个从向量空间到向量空间的线性变换。而等式

也被赋予了一个新的含义——它代表了一个向量在某个线性变换的作用下变成了另一个向量。实际上，线性变换（特别是线性算子）的内容远不止这些，但在这里我们点到为止；我们已经准备好用向量空间和线性变换这两个强大的工具来解决两个非常重要的问题：不相容的超定方程组的最优解（最小二乘问题）与线性算子的最简表示。

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