强化学习核心原理及数学框架

1. 定义与核心思想

强化学习（Reinforcement Learning, RL）是一种通过智能体（Agent）与环境（Environment）的持续交互来学习最优决策策略的机器学习范式。其核心特征为：

试错学习：智能体初始策略随机（"开局是智障"），通过大量交互获得经验数据（"装备全靠打"）
奖励驱动：环境对每个动作给出奖励信号（Reward），智能体目标为最大化长期累积奖励

2. 马尔可夫决策过程（MDP）

RL问题可形式化为五元组：
$\mathcal{M} = (\mathcal{S}, \mathcal{A}, \mathcal{P}, \mathcal{R}, \gamma)$
其中：

$\mathcal{S}$ ：状态空间（如飞船位置、速度）
$\mathcal{A}$ ：动作空间（离散：{左,右,开火}；连续：力度∈[0,1]）
$\mathcal{P}(s'|s,a)$ ：状态转移概率
$\mathcal{R}(s,a)$ ：即时奖励函数
$\gamma \in 0,1$ ：折扣因子

3. 奖励机制与目标函数

智能体追求最大化期望折扣累积奖励：
$G_t = \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1}$
对于飞船着陆问题：

最终奖励：成功着陆+100，坠毁-100
过程奖励：燃料消耗-0.1，姿态偏离-0.5

4. 策略与价值函数

策略 $\pi(a|s)$ 表示状态到动作的概率分布，状态值函数评估策略优劣：
$V^\pi(s) = \mathbb{E}_\pi \left[\sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} | S_t = s\right]$
动作值函数（Q函数）定义为：
$Q^{\pi}(s,a)=\mathbb{E}_\pi [G_{t}|S_{t}=s,A_{t}=a]$

5. 策略优化方法

5.1 基于值函数的方法（如Q-Learning）

通过贝尔曼最优方程更新Q值：
$Q(s,a)\leftarrow Q(s,a)+\alpha\left[R(s,a)+\gamma\max_{a'}Q(s',a')-Q(s,a)\right]$

5.2 策略梯度方法（如REINFORCE）

直接优化参数化策略 $\pi_{\theta}(a|s)$ ，梯度计算为：
$\nabla_{\theta}J(\theta)=\mathbb{E}_{\pi_{\theta}}\left[G_{t}\nabla_{\theta}\log\pi_{\theta}(A_{t}|S_{t})\right]$

6. 深度强化学习实现

使用神经网络近似策略或价值函数（如DQN）：
输入： $s$ $\xrightarrow{\text{shenjingwangluo}}$ 输出：动作概率分布/最优动作
训练目标为最小化时序差分误差：
$\mathcal{L}(\theta)=\mathbb{E}\left[\left(R+\gamma\max_{a'}Q_{\theta^{-}}(s',a')-Q_{\theta}(s,a)\right)^{2}\right]$

7. 应用领域

领域	状态空间	动作空间	奖励设计
机器人控制	关节角度、力反馈	力矩调整	姿态稳定性奖励
游戏AI	屏幕像素	手柄按键组合	得分增减机制
金融交易	市场行情	买入/卖出量	投资回报率