傅里叶级数在不连续点会怎么样???

文章目录

  • 一、前言背景
  • 二、用狄利克雷核表达傅里叶级数
  • 三、狄利克雷核与狄拉克函数
  • 四、傅里叶级数在不连续点的表示
  • 五、吉伯斯现象的解释
  • 六、总结
  • 参考资料

一、前言背景

笔者最近在撸《信号与系统》,写下此博客用作记录和分享学习笔记。由于是笔者为电子爱好者,不是数学专业从事人员,如有不对还望各网友大神指正。本博客大量借鉴资料,笔者只是拾人牙慧的小屁孩。
笔者在学习傅里叶级数或者傅里叶变换时,对傅里叶级数或是傅里叶变换的收敛性颇有疑问。
有狄利克雷条件约束:

  1. 在任何周期内, x ( t ) x(t) x(t)必须绝对可积( ∫ T ∣ x ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{T}{|x(t)|}dt < \infty Tx(t)dt<),以此保证傅里叶级数系数 a k a_{k} ak都是有限值:
    ∣ a k ∣ ≤ 1 T ∫ T ∣ x ( t ) e − j k w 0 t ∣ d t = 1 T ∫ T ∣ x ( t ) ∣ d t < ∞ |a_{k}| \leq \frac{1}{T} \int_{T} |x(t)e^{-jkw_{0}t}|dt = \frac{1}{T} \int_{T} |x(t)|dt < \infty akT1Tx(t)ejkw0tdt=T1Tx(t)dt<
  2. 在任意有限区间内, x ( t ) x(t) x(t)具有有限个起伏变化;也就是说,在任何单个周期内, x ( t ) x(t) x(t)的最大值和最小值的数目有限。
  3. 在任意有限区间内,只有有限个不连续点,而且在这些不连续点上,函数是有限值。

其中说到,对于一个周期内存在的有限数目的不连续点的周期信号而言,除去那些孤立的不连续点外,其余所有点上傅里叶级数都等于原来的 x ( t ) x(t) x(t);而在那些孤立的不连续点上,傅里叶级数收敛于不连续点处的平均值。

方波

这句话令笔者十分疑惑——傅里叶级数还能对不连续的信号的进行处理?
按照道理说,傅里叶级数由正弦和余弦函数构成,这些函数本质上是平滑的、连续的,怎么能表达不连续的信号呢?
于是我们展开下文…

二、用狄利克雷核表达傅里叶级数

我们都知道一个周期信号可以被傅里叶级数展开,
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t x(t) = \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}a_{k}e^{jkw_{0}t} x(t)=k=+akejkw0t
对于存在不连续点的 x ( t ) x(t) x(t),我们似乎难以下手,只能使用极限的知识。
现在以一个方波为例,
x ( t ) = { 1 , ∣ t ∣ < T 1 0 , T 1 < ∣ t ∣ < T 2 x(t)=\left\{ \begin{aligned} 1 , & |t| < T_{1}\\ 0 , & T_{1} < |t| < \frac{T}{2} \end{aligned} \right. x(t)= 1,0,t<T1T1<t<2T
我们对 T 1 T_{1} T1 处取极限,
lim ⁡ t → T 1 x ( t ) = lim ⁡ t → T 1 ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 T 1 \lim \limits_{t \rightarrow T_{1}} x(t) = \lim \limits_{t \rightarrow T_{1}} \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}a_{k}e^{jkw_{0}t} = \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}a_{k}e^{jkw_{0} T_{1}} tT1limx(t)=tT1limk=+akejkw0t=k=+akejkw0T1
我们可以发现,由于这个方波满足狄利克雷条件,求和( ∑ k = − ∞ + ∞ \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty} k=+)以及傅里叶级数系数( a k a_{k} ak)都收敛,故 lim ⁡ t → T 1 x ( t ) < ∞ \lim \limits_{t \rightarrow T_{1}} x(t) < \infty tT1limx(t)<。(当然, lim ⁡ t → T 1 − x ( t ) = 0 \lim \limits_{t \rightarrow T_{1}^{-}} x(t) = 0 tT1limx(t)=0 lim ⁡ t → T 1 + x ( t ) = 1 \lim \limits_{t \rightarrow T_{1}^{+}} x(t) = 1 tT1+limx(t)=1

这真是一个amazing的结果,这说明一个满足狄利克雷条件的周期信号,本来有不连续点,但利用傅里叶级数展开式可以得到其收敛值。
我们尝试计算:
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ ( 1 T ∫ T x ( τ ) e − j k w 0 τ d τ ) e j k w 0 t x ( t ) = 1 T ∫ T x ( τ ) ∑ k = − ∞ + ∞ e j k w 0 ( t − τ ) d τ \begin{aligned} x(t) & = \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}a_{k}e^{jkw_{0}t} \\ x(t) & = \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}(\frac{1}{T}\int_{T}x(\tau)e^{-jkw_{0}\tau}d\tau)e^{jkw_{0}t} \\ x(t) & = \frac{1}{T} \int_{T} x(\tau) \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}e^{jkw_{0}(t -\tau)}d\tau \end{aligned} x(t)x(t)x(t)=k=+akejkw0t=k=+(T1Tx(τ)ejkw0τdτ)ejkw0t=T1Tx(τ)k=+ejkw0(tτ)dτ

这里我们引入狄利克雷核:
D N ( t ) = ∑ k = − N + N e j k t = ∑ k = − N + N ( cos ⁡ ( k t ) + j sin ⁡ ( k t ) ) = ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) + j ∑ k = − N − 1 sin ⁡ ( k t ) + j ∑ k = 1 N sin ⁡ ( k t ) + j sin ⁡ ( 0 ) = ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) + j ∑ k = 1 N sin ⁡ ( − k t ) + j ∑ k = 1 N sin ⁡ ( k t ) + 0 = ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) − j ∑ k = 1 N sin ⁡ ( k t ) + j ∑ k = 1 N sin ⁡ ( k t ) = ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) \begin{aligned} D_{N}(t) = \sum\limits_{k = -N}^{+N}e^{jkt} &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} (\cos (kt) + j \sin (kt)) \\ &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) + j \sum\limits_{k = -N}^{-1} \sin (kt)+ j \sum\limits_{k = 1}^{N} \sin (kt) + j \sin (0)\\ &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) + j \sum\limits_{k = 1}^{N} \sin (-kt)+ j \sum\limits_{k = 1}^{N} \sin (kt) + 0\\ &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) - j \sum\limits_{k = 1}^{N} \sin (kt)+ j \sum\limits_{k = 1}^{N} \sin (kt) \\ &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) \\ \end{aligned} DN(t)=k=N+Nejkt=k=N+N(cos(kt)+jsin(kt))=k=N+Ncos(kt)+jk=N1sin(kt)+jk=1Nsin(kt)+jsin(0)=k=N+Ncos(kt)+jk=1Nsin(kt)+jk=1Nsin(kt)+0=k=N+Ncos(kt)jk=1Nsin(kt)+jk=1Nsin(kt)=k=N+Ncos(kt)
又因为 2 sin ⁡ α cos ⁡ β = sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) 2 \sin \alpha \cos \beta = \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta) 2sinαcosβ=sin(α+β)+sin(αβ)
我们有
2 sin ⁡ ( t 2 ) cos ⁡ ( k t ) = sin ⁡ ( t 2 + k t ) + sin ⁡ ( t 2 − k t ) ∑ k = − N + N 2 sin ⁡ ( t 2 ) cos ⁡ ( k t ) = ∑ k = − N + N sin ⁡ ( t 2 + k t ) + sin ⁡ ( t 2 − k t ) ∑ k = − N + N 2 sin ⁡ ( t 2 ) cos ⁡ ( k t ) = ∑ k = − N + N sin ⁡ ( k t + t 2 ) − sin ⁡ ( k t − t 2 ) ∑ k = − N + N 2 sin ⁡ ( t 2 ) cos ⁡ ( k t ) = [ sin ⁡ ( − N t + t 2 ) − sin ⁡ ( − N t − t 2 ) + sin ⁡ ( − ( N − 1 ) t + t 2 ) − sin ⁡ ( − ( N − 1 ) t − t 2 ) + . . . + 2 sin ⁡ ( t 2 ) + . . . + sin ⁡ ( N t + t 2 ) − sin ⁡ ( N t − t 2 ) ] ∑ k = − N + N 2 sin ⁡ ( t 2 ) cos ⁡ ( k t ) = − sin ⁡ ( − N t − t 2 ) − sin ⁡ ( t 2 ) + 2 sin ⁡ ( t 2 ) + sin ⁡ ( N t + t 2 ) − sin ⁡ ( t 2 ) ∑ k = − N + N 2 sin ⁡ ( t 2 ) cos ⁡ ( k t ) = 2 sin ⁡ ( N t + t 2 ) ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) = 2 sin ⁡ ( N t + t 2 ) 2 sin ⁡ ( t 2 ) ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) = sin ⁡ ( ( N + 1 2 ) t ) sin ⁡ ( t 2 ) \begin{aligned} 2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (kt) &= \sin (\frac{t}{2} + kt) + \sin (\frac{t}{2} - kt) \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} 2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (kt) &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} \sin (\frac{t}{2} + kt) + \sin (\frac{t}{2} - kt) \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} 2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (kt) &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} \sin (kt + \frac{t}{2}) - \sin (kt - \frac{t}{2}) \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} 2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (kt) &= [\sin (- Nt + \frac{t}{2}) - \sin (-Nt -\frac{t}{2}) +\sin (- (N-1)t + \frac{t}{2}) - \sin (-(N-1)t -\frac{t}{2}) + ... + 2 \sin (\frac{t}{2}) + ... + \sin (Nt + \frac{t}{2}) - \sin (Nt -\frac{t}{2})] \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} 2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (kt) &= - \sin (-Nt -\frac{t}{2}) - \sin (\frac{t}{2}) + 2 \sin (\frac{t}{2}) + \sin (Nt + \frac{t}{2}) - \sin (\frac{t}{2}) \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} 2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (kt) &= 2 \sin (Nt +\frac{t}{2}) \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) &= \frac{ 2 \sin (Nt +\frac{t}{2})}{2 \sin (\frac{t}{2}) } \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) &= \frac{ \sin ((N + \frac{1}{2})t)}{ \sin (\frac{t}{2}) } \end{aligned} 2sin(2t)cos(kt)k=N+N2sin(2t)cos(kt)k=N+N2sin(2t)cos(kt)k=N+N2sin(2t)cos(kt)k=N+N2sin(2t)cos(kt)k=N+N2sin(2t)cos(kt)k=N+Ncos(kt)k=N+Ncos(kt)=sin(2t+kt)+sin(2tkt)=k=N+Nsin(2t+kt)+sin(2tkt)=k=N+Nsin(kt+2t)sin(kt2t)=[sin(Nt+2t)sin(Nt2t)+sin((N1)t+2t)sin((N1)t2t)+...+2sin(2t)+...+sin(Nt+2t)sin(Nt2t)]=sin(Nt2t)sin(2t)+2sin(2t)+sin(Nt+2t)sin(2t)=2sin(Nt+2t)=2sin(2t)2sin(Nt+2t)=sin(2t)sin((N+21)t)

故,我们可以得出狄利克雷核的表达式为:
D N ( t ) = ∑ k = − N + N e j k t = ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) = sin ⁡ ( ( N + 1 2 ) t ) sin ⁡ ( t 2 ) D_{N}(t) = \sum\limits_{k = -N}^{+N}e^{jkt} = \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) = \frac{ \sin ((N + \frac{1}{2})t)}{ \sin (\frac{t}{2}) } DN(t)=k=N+Nejkt=k=N+Ncos(kt)=sin(2t)sin((N+21)t)
我们重新看回傅里叶级数表达的 x ( t ) x(t) x(t),用狄利克雷核表达也就是:
x ( t ) = 1 T ∫ T x ( τ ) ∑ k = − ∞ + ∞ e j k w 0 ( t − τ ) d τ x ( t ) = 1 T ∫ T x ( τ ) D N ( w 0 ( t − τ ) ) d τ \begin{aligned} x(t) & = \frac{1}{T} \int_{T} x(\tau) \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}e^{jkw_{0}(t -\tau)}d\tau \\ x(t) & = \frac{1}{T} \int_{T} x(\tau) D_N(w_{0}(t-\tau)) d\tau \end{aligned} x(t)x(t)=T1Tx(τ)k=+ejkw0(tτ)dτ=T1Tx(τ)DN(w0(tτ))dτ
其中 N → ∞ N \rightarrow \infty N
我们可以发现, x ( t ) x(t) x(t)的傅里叶级数展开又可以看作和狄利克雷核作周期卷积。

三、狄利克雷核与狄拉克函数

上文提到的 x ( t ) x(t) x(t)的傅里叶级数展开可以表达为 x ( t ) x(t) x(t)自己和狄利克雷核( N → ∞ N \rightarrow \infty N时)作周期卷积,于是我们对狄利克雷核展开研究,看看是否具有什么优秀的性质能够简化我们的卷积计算。

使用MATLAB绘制狄利克雷核的图像:

N = 10;
t = -5 : 0.000001 : 5;
x = sin((N + 0.5) * t) ./ (t * 0.5);plot(t, x);
title("Dirichlet Kernel (N = " + N + ")");

调节N系数绘制图形:

N = 10 :

Dirchlet (N = 10)

N = 100 :

Dirchlet (N = 100)

N = 100000 :

Dirchlet (N = 100000)

可以看出狄利克雷核在 N N N越大,其性质越像狄拉克函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t)
lim ⁡ t → 0 D N ( t ) = 2 N + 1 \lim \limits_{t \rightarrow 0} D_{N}(t)= 2N + 1 t0limDN(t)=2N+1
而且
∫ T D N ( w 0 t ) d t = ∫ T ∑ k = − N + N e j k w 0 t d t = ∑ k = − N + N ∫ T e j k w 0 t d t \int_{T} D_{N}(w_{0}t)dt = \int_{T} \sum\limits_{k = -N}^{+N}e^{jkw_{0}t}dt =\sum\limits_{k = -N}^{+N} \int_{T} e^{jkw_{0}t}dt TDN(w0t)dt=Tk=N+Nejkw0tdt=k=N+NTejkw0tdt
∫ T e j k w 0 t d t \int_{T} e^{jkw_{0}t}dt Tejkw0tdt 仅在 k = 0 k = 0 k=0 时不为零,
故,我们可推出,
∫ T D N ( w 0 t ) d t = ∫ T d t = T \int_{T} D_{N}(w_{0}t)dt = \int_{T} dt = T TDN(w0t)dt=Tdt=T
这两条推论可以得出: N N N越大,狄利克雷核在 0 0 0 处的趋于值越大( 2 N + 1 2N + 1 2N+1);狄利克雷核在一个周期积分其值固定( T T T)。
我们推理,当 N → ∞ N \rightarrow \infty N,狄利克雷核在 0 0 0 处也趋于 ∞ \infty ,但是由于狄利克雷核在一个周期积分其值固定为 T T T,所以相当于全部的能量都聚集到了 0 0 0 处,性质十分类似狄拉克函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t)

比如就可以说,当 N → ∞ N \rightarrow \infty N ∫ T x ( t ) D N ( w 0 t ) d t = T x ( 0 ) \int_{T} x(t)D_{N}(w_{0}t)dt = Tx(0) Tx(t)DN(w0t)dt=Tx(0)

四、傅里叶级数在不连续点的表示

刚刚我们知道了狄利克雷核在 N → ∞ N \rightarrow \infty N下的性质近似狄拉克函数的性质,于是我们重新看回我们之前提到的 x ( t ) x(t) x(t)的傅里叶级数展开可以表达为 x ( t ) x(t) x(t)自己和狄利克雷核( N → ∞ N \rightarrow \infty N时)的周期卷积。
N → ∞ N \rightarrow \infty N时,不存在不连续点时,
x ( t ) = lim ⁡ N → ∞ 1 T ∫ T x ( τ ) D N ( w 0 ( t − τ ) ) d τ = 1 T ⋅ T x ( t ) = x ( t ) \begin{aligned} x(t) & = \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{T} x(\tau) D_N(w_{0}(t-\tau)) d\tau = \frac{1}{T} \cdot T x(t) = x(t) \end{aligned} x(t)=NlimT1Tx(τ)DN(w0(tτ))dτ=T1Tx(t)=x(t)
可以发现,傅里叶级数展开式 x ( t ) x(t) x(t)就是其 x ( t ) x(t) x(t)本身。

而存在不连续点( t 0 t_{0} t0)时,我们就改变积分区间,去掉不连续点处(不连续点实际上是一个点,那么它对应的面积是一条线的面积也就是 0 0 0,因此,不连续点对面积的影响可以忽略不计),
x ( t 0 ) = lim ⁡ N → ∞ 1 T ∫ − T 2 t 0 − ε x ( τ ) D N ( w 0 ( t 0 − τ ) ) d τ + lim ⁡ N → ∞ 1 T ∫ t 0 + ε T 2 x ( τ ) D N ( w 0 ( t 0 − τ ) ) d τ = 1 T ⋅ T 2 x ( t 0 − ) + 1 T ⋅ T 2 x ( t 0 + ) = x ( t 0 − ) + x ( t 0 + ) 2 \begin{aligned} x(t_{0}) & = \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{t_{0} - \varepsilon } x(\tau) D_N(w_{0}(t_{0}-\tau)) d\tau + \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{t_{0} + \varepsilon}^{\frac{T}{2}} x(\tau) D_N(w_{0}(t_{0}-\tau)) d\tau \\ &= \frac{1}{T} \cdot \frac{T}{2} x(t_{0}^{-}) + \frac{1}{T} \cdot \frac{T}{2} x(t_{0}^{+})\\ &= \frac{ x(t_{0}^{-}) + x(t_{0}^{+})}{2} \end{aligned} x(t0)=NlimT12Tt0εx(τ)DN(w0(t0τ))dτ+NlimT1t0+ε2Tx(τ)DN(w0(t0τ))dτ=T12Tx(t0)+T12Tx(t0+)=2x(t0)+x(t0+)
最后我们得出,满足狄利克雷条件的周期函数,在其不连续点处会趋于不连续点的平均值。

将方波傅里叶级数展开后,再以对应的 N N N 画出其对应的有限项近似 x N ( t ) x_{N}(t) xN(t)
对于任意的 N N N 来说, x N ( t ) x_{N}(t) xN(t) 在不连续点都为该点平均值。
方波傅里叶级数的收敛

五、吉伯斯现象的解释

不过,在时域上有趣的现象不仅是满足狄利克雷条件的周期函数,在其不连续点处会趋于不连续点的平均值,还有当傅里叶级数为有限项的傅里叶级数截断近似时,在不连续点处呈现的起伏。

对于一周期方波,
x ( t ) = { 1 , ∣ t ∣ < T 1 0 , T > ∣ t ∣ > T 1 x(t)=\left\{ \begin{aligned} 1 , & |t| < T_{1}\\ 0 , & T>|t| > T_{1} \end{aligned} \right. x(t)={1,0,t<T1T>t>T1

其傅里叶级数为
a k = s i n ( k w 0 T 1 ) k π a_{k} =\frac{sin(kw_{0}T_{1})}{k \pi} ak=sin(kw0T1)

我们编写MATLAB代码,模拟有限项求和傅里叶级数的结果:

N = 50;T = 2 * pi; 
w0 = 2 * pi / T;
t = -3:0.00001:3;
T1 = 1;y = (abs(t) < T1);x = zeros(size(t));for k = -N:Nif k == 0ak = w0 * T1 / pi;elseak = (sin(k * w0 * T1)) / (k * pi);endx = x + ak * exp(1j * k * w0 * t);
endhold on;
plot(t, real(x), 'b');
plot(t, y);
title("N = " + N);
hold off;[max_value, max_index] = max(real(x));
overshoot = (max_value - 1) / 1 * 100; 
disp(['Maximum value: ', num2str(max_value)]);
disp(['Overshoot percentage: ', num2str(overshoot), '%']);

N=10有限项傅里叶级数

N=50有限项傅里叶级数
N=500有限项傅里叶级数

可以发现随着 N 的变大不连续点起伏的峰值大小没有改变太多,始终存在过冲,并没有随着N 的变大而下降。

这原因可以追溯到狄利克雷核中,虽然随着 N 的变大,狄利克雷核的性质越来越类似狄拉克函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 的性质,但其图像却很有自己的特色。
狄利克雷核的图形由一个主要的中心峰(主瓣)和多对对称的较小振荡(旁瓣)组成。主瓣的高度随着 N 的增大而增大,旁瓣则在靠近 t = 0 t = 0 t=0 处密集振荡。旁瓣的振幅虽然逐渐减小,但振荡的频率随 N 的增大而增大。狄利克雷核的积分贡献主要来自主瓣的中心区域以及旁瓣的高频振荡。
t 0 t_{0} t0 是连续点时,积分结果会随着 N N N 的增大逐渐逼近 x ( t 0 ) x(t_{0}) x(t0)。( lim ⁡ N → ∞ 1 T ∫ T x ( τ ) D N ( w 0 ( t − τ ) ) d τ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{T} x(\tau) D_N(w_{0}(t-\tau)) d\tau NlimT1Tx(τ)DN(w0(tτ))dτ 趋于 x ( t ) x(t) x(t) )狄利克雷核的主瓣捕捉到了主要变化,旁瓣的高频成分对平滑变化的函数影响较小。(可以想象狄利克雷核卷积的过程,由于连续点周围的点都变化不大,当 N N N 很大时,旁瓣的影响十分细微)
但是当 t 0 t_{0} t0 是不连续点时,这个积分结果将很受旁瓣的高频振荡的影响,(因为不连续点周围的点变化很大,导致这个振荡表现得更加明显),出现过冲。(资料上说这个过冲将会有 9 9 9 %,且不随 N N N 的增大而下降)

编写MATLAB代码,实现对连续信号和不连续信号分别对狄利克雷核的周期卷积:

N = 50;
t = -pi:0.00001:pi;D_N = sin((N + 0.5) * t) ./ (0.5 * t);
D_N(t == 0) = (N + 0.5) / 0.5;figure;
plot(t, D_N);
title("D_N(t) N = " + N);x1 = cos(t);
x2 = (abs(t) < pi/2);y1 = conv(x1, D_N, 'same') * (t(2) - t(1)) / ( 2 * pi);y2 = conv(x2, D_N, 'same') * (t(2) - t(1)) / ( 2 * pi);figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(t, x1, 'b');
hold on;
plot(t, y1, 'r');subplot(2, 1, 2);
plot(t, x2, 'b');
hold on;
plot(t, y2, 'r');

D_N(t)  N = 50
连续信号和不连续信号
可以发现,信号在连续点受旁瓣影响小,在不连续点受旁瓣影响大。
随着 N N N 变大,只是让旁瓣向着 t = t 0 t = t_{0} t=t0 压缩。对于不连续点 t 0 t_{0} t0 处,也就是随着 N N N 变大,不连续点受旁瓣影响导致的振荡会向着 t = t 0 t = t_{0} t=t0 压缩。
从能量的角度来说,当不连续点附近的振荡被压缩时,由于能量守恒,不连续点处的过冲会增加。只不过由于狄利克雷核随 N N N 增大到一定程度后,旁瓣在纵轴变化的程度不大,故过冲在 N N N 增大到一定程度后变化幅度也很小。
吉伯斯效应是一个典型的受狄利克雷核影响的现象,狄利克雷核还有很多有趣的性质等待人们挖掘。

六、总结

x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶级数的展开式可以看作 x ( t ) x(t) x(t) 与狄利克雷核做周期卷积的结果。我们探索狄利克雷核的各种性质(比如其类似狄拉克函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 的性质 ),从而探索傅里叶级数的各种性质。 狄利克雷核在周期积分为定值,且在 t = 0 t = 0 t=0 处的趋近值随 N N N 变大而变大。不同的 N N N 值让狄利克雷核的主瓣和旁瓣不同程度地影响着傅里叶级数。

参考资料

[1] Oppenheim, Willsky, Nawab. Signals & Systems [M]. 2nd Edition. UK London: Prentice-Hall International (UK) Limited.

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RPC通信 本模块提供进程间通信能力&#xff0c;包括设备内的进程间通信&#xff08;IPC&#xff09;和设备间的进程间通信&#xff08;RPC&#xff09;&#xff0c;前者基于Binder驱动&#xff0c;后者基于软总线驱动。 说明&#xff1a; 本模块首批接口从API version 7开始支…

番外篇 | 基于改进YOLOv5的安全帽佩戴检测 | 重参数化结构RepVGG + 空间对象注意力机制RCS-OSA模块

前言:Hello大家好,我是小哥谈。RCS-YOLO是一种目标检测算法,它是基于YOLOv3算法的改进版本。通过查看RCS-YOLO的整体架构可知,其中包括RCS-OSA模块。RCS-OSA模块在模型中用于堆叠RCS模块,以确保特征的复用并加强不同层之间的信息流动。本文针对安全帽佩戴的检测就是基于RC…

Vue 的 axios二次封装

&#xff08;以下的接口地址链接换成自己的写&#xff01;&#xff01;&#xff01;&#xff09; 首先在项目中src的目录下创建一个api的文件夹&#xff0c;在api的文件下在穿件两个文件用于二次封装 别忘了先安装axios&#xff1a;&#xff08;在根目录下安装axios&#xff0…

Linux内核开发-替换内核

0.前言 上一章&#xff08;点击返回上一章&#xff09;提到如何编译内核源码&#xff0c;本章主要介绍如何将编好的内核替换已有的内核。 1. 替换内核 第1步&#xff1a;查看当前内核版本 cat /proc/version第2步&#xff1a; 查看机器上的内核信息 grep menuentry /boot/…

Mware Fusion Pro 13 mac版:一键掌控虚拟世界

VMware Fusion Pro 13是一款功能卓越的虚拟化软件&#xff0c;专为Mac操作系统量身打造。这款软件为用户提供了一个一站式的虚拟化解决方案&#xff0c;能够满足各种多样化的需求。 VMware Fusion Pro 13 Mac获取 VMware Fusion Pro 13的强大之处在于其采用了最 先进的虚拟化…

食品安全无小事:EasyCVR+AI技术助力食品加工厂管理透明化,构建食品安全防线

一、背景需求 近期有新闻记者曝光某省禽类屠宰加工厂脏乱差问题严重&#xff0c;工人脚踩鹅肠鸭肠混杂洗地水、烟头随手扔进鸭肠筐、污水捞出死鸭再上生产线…卫生情况十分堪忧。食品卫生安全频频出现负面新闻&#xff0c;如何实现源头治理&#xff1f;如何将各类食品安全风险隐…

C++ Primer Plus第五版+习题重点笔记(p250-300)

第七章 类&#xff08;下&#xff09; clear需要访问Screen的私有成员;而要想令这种访问合法&#xff0c;Screen需要把 window mgr 指定成它的友元 如果一个类指定了友元类&#xff0c;则友元类的成员函数可以访问此类包括非公有成员在内的所有成员 每个类负责控制自己的友元…

电子书(chm)-加载JS--CS上线

免责声明: 本文仅做技术交流与学习... 目录 cs--web投递 html(js)代码 html生成chm工具--EasyCHM 1-选择powershell 模式 生成 2-选择bitsadmin模式生成 chm反编译成html cs--web投递 cs配置监听器--->攻击---->web投递---> 端口选择没占用的, URL路径到时候会在…

《昇思25天学习打卡营第1天 | 认识MindScope AI框架和昇思大模型平台》

活动地址&#xff1a;https://xihe.mindspore.cn/events/mindspore-training-camp 昇思MindSpore学习笔记&#xff1a;探索AI的无限可能 嗨&#xff0c;AI爱好者们&#xff01;今天&#xff0c;我要带你们深入了解一个强大的全场景深度学习框架——昇思MindSpore。 准备好了吗…

AWR1843BOOST上的TM4C1294NCPDT是干啥用的?

摘要&#xff1a;AWR1843BOOST上面有2个体积较大的芯片&#xff0c;一片是雷达&#xff0c;另一片是什么呢&#xff1f; 答案&#xff1a;它就是XDS110仿真器。 有了它&#xff0c;就不用再买一个仿真器了。 从AWR1843BOOST的原理图中可以看到整个 BOOST板子上只有2个比较大的…

C++switch陈述

C 使用关键字 switch、case、default对一个常数执行不同的分流&#xff0c;这构成多重选择的结构&#xff0c;形式如下 简单来说&#xff0c;switch后头接一小括弧&#xff0c;小括弧内为一常数运算式&#xff0c;计算出常数值若与其后case的位标(label) 相符&#xff0c;就会执…

Prometheus入门

Prometheus入门 Setup Reference:https://prometheus.io/docs/introduction/overview/ exporters:你可以部署在你想要获取metrics的应用旁&#xff0c;接收Prometheus请求&#xff0c;从应用程序中收集数据并转换为正确的格式&#xff0c;最后返回给Prometheus;Service Dis…

创建百度百科词条要多少钱?看这篇

“百度百科词条人人可编辑&#xff0c;词条创建和修改均为免费&#xff0c;不存在官方及代理商付费代编。” 是的&#xff0c;百度百科免费开放&#xff0c;任何人都可以自己做&#xff0c;但是作为一个给上百家企业和个人创建百度百科词条的专业人士来说&#xff0c;给大家一…

模型预测控制MPC详解(附带案例实现)

模型预测控制MPC详解&#xff08;附带案例实现&#xff09; 文章目录 模型预测控制MPC详解&#xff08;附带案例实现&#xff09;1. 最优控制问题2. 什么是MPC3. 二次规划Quadratic Programming4. MPC为什么可以转换成QP问题&#xff08;推导过程&#xff09;5. MPC总结5.1 MPC…

基于51单片机的篮球计分器设计

一.硬件方案 本设计用由AT89C51编程控制LED七段数码管作显示的球赛计时计分系统。该系统具有赛程定时设置、赛程时间暂停、及时刷新甲乙双方的成绩等功能。 电路主要由STC89C52单片机最小系统数码管显示模块数码管驱动模块蜂鸣器模块按键模块&#xff1b; 二.设计功能 &…

哔哩哔哩视频URL解析原理

哔哩哔哩视频URL解析原理 视频网址解析视频的原理通常涉及以下几个步骤&#xff1a; 1、获取视频页面源代码&#xff1a;通过HTTP请求获取视频所在网页的HTML源代码。这一步通常需要处理反爬虫机制&#xff0c;如验证码或用户登录。 2、解析页面源代码&#xff1a;分析HTML源代…

Transformer学习理解

1.前言 本文介绍当下人工智能领域的基石与核心结构模型——Transformer&#xff0c;为什么说它是基石&#xff0c;因为以ChatGPT为代表的聊 天机器人以及各种有望通向AGI&#xff08;通用人工智能&#xff09;的道路上均在采用的Transformer。 Transformer也是当下NLP任…

【上海交大】博士生年度进展报告模板

上海交通大学 博士生年度进展报告模板 比较不好找&#xff0c;在交我办中发起申请流程后才能看到链接&#xff0c;链接如下&#xff1a; https://www.gs.sjtu.edu.cn/xzzx/pygl/15