408数据结构-二叉树的概念、性质与存储结构自学知识点整理

前置知识：树的基本概念与性质

二叉树的定义

二叉树是一种特殊的树形结构，其特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于 $2$ 的结点），并且二叉树是有序树，左右子树不能互换。
与树类似，二叉树也以递归形式定义。二叉树是 $n$ （ $n \geq 0$ ）个结点的有限集合。当 $n = 0$ 时，称为空二叉树。
当 $n \neq = 0$ 时，二叉树由根结点和两个互不相交的子树组成，左子树和右子树又分别是一棵二叉树。即使树中结点只有一棵子树，因为二叉树有序，也要区分是左子树还是右子树。
二叉树与度为 $2$ 的有序树的区别：

度为 $2$ 的有序树至少有 $3$ 个结点，而二叉树可以为空。
度为 $2$ 的有序树的孩子的左右次序是相对于另一个孩子而言的，若某一结点只有一个孩子结点，则无需区分其左右。而对二叉树上的结点来说，无论其孩子数是否为 $2$ ，均需确定其左右次序。即二叉树的结点次序不是相对于另一个结点而言的，而是确定的。

几种特殊的二叉树

Man! 满二叉树

一棵高度为 $h$ ，且有 $2^h-1$ 个结点的二叉树被称为满二叉树。
因为对一个满二叉树来说，第 $i$ 层有 $2^{i-1}$ 个结点，一共有 $h$ 层，则求和结果就是 $2^h-1$ 。
满二叉树的特点：

只有最后一层有叶子结点。
不存在度为 $1$ 的结点。
若层序从 $1$ 开始编号，则对第 $i$ 个结点，其左孩子必为第 $2 i$ 个结点，右孩子必为第 $2 i + 1$ 个结点。如果结点 $i$ 存在双亲结点，则其双亲必为第 $\left\lfloor i/2 \right\rfloor$ 个结点（即对 $i /2$ 向下取整）。

（下图来自王道考研408数据结构课程视频 - 二叉树的定义和基本术语）
图片源自王道考研408数据结构课程视频

完全二叉树

一棵高度为 $h$ 、有 $n$ 个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为 $h$ 的满二叉树中编号为 $1 - n$ 的结点一一对应时，称为完全二叉树。
完全二叉树的特点：

只有最后两层（层数最大的两层）可能有叶子结点。
最多只有一个度为 $1$ 的结点，且该结点只有左孩子而无右孩子。
层序从 $1$ 开始编号，则对第 $i$ 个结点，其左孩子必为第 $2 i$ 个结点，右孩子必为第 $2 i + 1$ 个结点。如果结点 $i$ 存在双亲结点，则其双亲必为第 $\left\lfloor i/2 \right\rfloor$ 个结点。（同满二叉树）
对结点 $i$ ，当 $\left\lfloor n/2 \right\rfloor$ 时，该结点为分支结点；当 $\left\lfloor n/2 \right\rfloor$ 时，该结点为叶结点。
若 $n$ 为奇数，则每个分支结点都有左孩子和右孩子；若 $n$ 为偶数，则编号最大的分支结点（编号为 $n /2$ ）只有左孩子，没有右孩子，其余分支结点均有左、右孩子。

二叉排序树⭐

左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字，右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字，左右子树又各是一棵二叉排序树，这样的二叉树被称为二叉排序树。

平衡二叉树⭐

树中任意一个结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 $1$ ，这样的二叉树称为平衡二叉树。
如果一棵二叉排序树是平衡的，那么它的搜索效率会高很多。

关于二叉排序树和平衡二叉树，后续章节会有详细介绍，现在暂时了解其概念即可。

正则二叉树

树中每个分支结点都有 $2$ 个孩子，即树中只有度为 $0$ 或 $2$ 的结点。

二叉树的性质相关

常见考点1：非空二叉树上的叶结点数等于度为 $2$ 的结点数加 $1$ ，即 $n_0=n_2+1$ 。

假设树中结点总数为 $n$ ，度为 $0$ 的结点数为 $n_0$ ，度为 $1$ 的结点数为 $n_1$ ，度为 $2$ 的结点数为 $n_2$ 。则有：
① $n=n_0+n_1+n_2$
② $n=n_1+2n_2+1$ （树的结点数=总度数+1）
联立两式，得 $n_0=n_2+1$ 。
这一个考点常在选择题中涉及，需要牢记并灵活应用。

常见考点2：非空二叉树的第 $i$ 层至多有 $2^{i-1}$ 个结点（ $i \geq 1$ ）

由树的基本概念与性质可知， $m$ 叉树的第 $i$ 层至多有 $m^{i-1}$ 个结点（ $i \geq 1$ ），令 $m = 2$ 即可。

常见考点3：高度为 $h$ 的二叉树至多有 $2^h-1$ 个结点（ $h \geq 1$ ）

由树的基本概念与性质可知，高度为 $h$ 的 $m$ 叉树至多有 $\frac{m^h-1}{m-1}$ 个结点（ $i \geq 1$ ），令 $m = 2$ ，得有 $2^h-1$ 个（满二叉树）。

完全二叉树的性质相关

常见考点1：具有 $n$ 个结点（ $n ＞ 0$ ）的完全二叉树的高度 $h$ 为 $\left\lceil {{\log }_{2}}\left( n+1 \right) \right\rceil$ 或 $\left\lfloor {{\log }_{2}}n \right\rfloor +1$ 。

由完全二叉树的已知性质，假设完全二叉树的高度为 $h$ ，则有

${{2}^{h-1}}-1<n\le {{2}^{h}}-1$ 或 ${{2}^{h-1}}\le n<{{2}^{h}}$

取对数后可解得

$h-1<{{\log }_{2}}\left( n+1 \right)\le h$ 或 $h-1\le {{\log }_{2}}n<h$

即

$h=\left\lceil {{\log }_{2}}\left( n+1 \right) \right\rceil$ 或 $h=\left\lfloor {{\log }_{2}}n \right\rfloor +1$

由此可知，第 $i$ 个结点所在层次为 $\left\lceil {{\log }_{2}}\left( i+1 \right) \right\rceil$ 或 $\left\lfloor {{\log }_{2}}i \right\rfloor +1$ 。

常见考点2：对于完全二叉树，可以由结点数 $n$ 推出度为 $0$ 、 $1$ 和 $2$ 的结点个数 $n_0$ 、 $n_1$ 和 $n_2$ 。

由之前的结论可知，完全二叉树最多只有一个度为 $n$ 的结点，即 $n_1=0$ 或 $1$ 。
且 $n_0=n_2+1$ ，则 $n_0+n_2=2n_2+1$ 必为奇数。
若完全二叉树有 $2 k$ （偶数）个结点，则必有 $n_1=1$ ， $n_0=k$ ， $n_2=k-1$
若完全二叉树有 $2 k - 1$ （奇数）个结点，则必有 $n_1=0$ ， $n_0=k$ ， $n_2=k-1$

二叉树的存储结构

1.顺序存储结构

二叉树的顺序存储是指用一组连续的存储单元依次自上而下、自左而右存储完全二叉树上的结点元素，即将完全二叉树上编号为 $i$ 的结点元素存储在一维数组下标为 $i - 1$ 的分量中。
依据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反映结点之间的逻辑关系。这样既能最大可能地节省空间，又能利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。

#define MaxSize 100
typedef struct TreeNode {int value;//结点中的数据元素bool isEmpty;//结点是否为空
}TreeNode;
TreeNode t[MaxSize];//静态顺序存储二叉树
int n;//记录结点总数void TreeInit() {//初始化for (int i = 0; i < MaxSize; ++i)t[i].isEmpty = true;//将每个结点状态设为空return;
}

用这种方式存储的完全二叉树，对第 $i$ 个结点，其左孩子为 $2 i$ ，右孩子为 $2 i + 1$ ，父节点为 $\left\lfloor i/2 \right\rfloor$ ，所在层次为 $\left\lceil {{\log }_{2}}\left( i+1 \right) \right\rceil$ 或 $\left\lfloor {{\log }_{2}}i \right\rfloor +1$ 。
若该完全二叉树共有 $n$ 个结点，则对第 $i$ 个结点，判断其是否有左右孩子，以及是否为分支/叶子结点，可用以下逻辑实现：

bool Have_LeftChild(int i) {//判断结点i是否有左孩子return (2 * i <= n && !t[2 * i].isEmpty) ? true : false;
}bool Have_RightChild(int i) {//判断结点i是否有右孩子return (2 * i + 1 <= n && !t[2 * i + 1].isEmpty) ? true : false;
}bool Is_Leaf(int i) {//判断结点i是否为叶子结点return i > (n / 2) ? true : false;
}

如果不是完全二叉树，依旧按照顺序存储的方式存储二叉树，则数组下标将不再能够表示各结点之间的逻辑关系。为解决这个问题，可以将二叉树中的结点编号与完全二叉树一一对应，从而进行顺序存储。但是这样又会产生新的问题：假如一棵二叉树中除叶结点外的所有结点都只有右孩子，那么，若这棵二叉树深度为 $h$ ，则它需要使用 $2^h-1$ 大小的数组对所有结点进行存放，空间利用率非常非常低。因此，除了完全二叉树可以采用顺序存储结构，一般的二叉树通常采用的都是链式存储结构。

2.链式存储结构

由于顺序存储的空间利用率较低，因此二叉树一般都采用链式存储结构，用链表结点来存储二叉树中的每个结点。在二叉树中，结点结构通常包括若干数据域和若干指针域。二叉链表至少包含 $3$ 个域：数据域 $d a t a$ ，左指针域 $l c hi l d$ ，右指针域 $rc hi l d$ 。实际运用中，还可以增加数据域或指针域比如增加一个指向父节点的指针，变成三叉链表的存储结构。
二叉树的链式存储结构描述如下：

typedef struct Elemtype {//复合数据域int value;//只有一个int类型
}Elemtype;
typedef struct BiTNode {//二叉链表结点Elemtype data;//数据域struct BiTNode* lchild, * rchild;//左、右孩子指针
//	struct BiTNode* parent;//父节点指针（根据实际需要决定是否添加）
}BiTNode, * BiTree;

由二叉链表的性质， $n$ 个结点的二叉链表共有 $n + 1$ 个空指针域，这一部分可用于构造线索二叉树。
（计算方法：度为 $2$ 的结点有 $0$ 个空指针域，度为 $1$ 的结点有 $1$ 个空指针域，度为 $0$ 的结点有 $2$ 个空指针域。由此前的性质可知，当 $n_1=1$ 时， $n_0=n/2$ ，空指针域数量为 $1 + 2 * n /2 = n + 1$ ；当 $n_1=0$ 时， $n_0=(n+1)/2$ ，空指针域数量为 $0 + 2 * (n + 1) /2 = n + 1$ 。故无论 $n$ 的值为奇数还是偶数， $n$ 个结点的二叉链表的空指针域都为 $n + 1$ 个）

对根结点的初始化操作如下：

BiTree root = NULL;//定义一棵空树
void InitBiTree() {//初始化根结点root = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));root->data = { 1 };
//	root->parent = NULL;root->lchild = NULL;root->rchild = NULL;return;
}

插入根结点的左孩子：可依照此逻辑完成对二叉树的构建。

void InsertRLChild() {//插入新节点（根结点的左孩子）BiTNode* p = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));p->data = { 2 };p->lchild = NULL;p->rchild = NULL;root->lchild = p;
//	p->parent = root;return;
}