让我们详细解释一下所谓的“冲激平衡法”（或“冲激响应法”）以及为什么在这个方法中假设冲激响应 ( h(t) ) 的形式为特定的指数函数组合是合理的。

冲激平衡法的基本思想

冲激平衡法的基本思想是通过假设冲激响应 ( h(t) ) 的特定形式，并将其代入系统的微分方程中，验证该假设是否满足微分方程的要求。对于线性时不变系统（LTI系统），我们通常假设冲激响应的形式为特征方程解的组合形式。这是因为系统的特征方程决定了系统的自然响应形式。

系统的特性

考虑一个二阶线性常系数微分方程描述的LTI系统：
$$y^{\prime \prime }(t)+7y^{\prime }(t)+12y(t)=x(t)$$

其对应的齐次微分方程（没有外部输入）为：
$$y^{\prime \prime }(t)+7y^{\prime }(t)+12y(t)=0$$

特征方程为：
$${\lambda }^2+7\lambda +12=0$$

解特征方程得到特征根：
$${\lambda }_1=-3,{\lambda }_2=-4$$

因此，齐次微分方程的解可以表示为特征根对应的指数函数的线性组合：
$$y_h(t)=C_1{e}^{-3t}+C_2{e}^{-4t}$$

假设冲激响应的形式

为了求解系统的冲激响应 ( h(t) )，我们假设其形式为特征根对应的指数函数的组合：
$$h(t)=A{e}^{-3t}+B{e}^{-4t}$$

由于冲激响应应该在 ( t \geq 0 ) 时存在（即输入信号 (\delta(t)) 在 ( t = 0 ) 时刻起作用），我们将其乘以单位阶跃函数 ( u(t) )：
$$h(t)=(A{e}^{-3t}+B{e}^{-4t})u(t)$$

验证假设

将假设的形式代入原微分方程，验证是否满足该方程。

计算假设形式的导数：
$$h^{\prime }(t)=-3A{e}^{-3t}u(t)-4B{e}^{-4t}u(t)$$
$$h^{\prime \prime }(t)=9A{e}^{-3t}u(t)+16B{e}^{-4t}u(t)$$

将这些导数代入微分方程：
$$h^{\prime \prime }(t)+7h^{\prime }(t)+12h(t)=\delta (t)$$

得到：
$$9A{e}^{-3t}u(t)+16B{e}^{-4t}u(t)+7(-3A{e}^{-3t}u(t)-4B{e}^{-4t}u(t))+12(A{e}^{-3t}u(t)+B{e}^{-4t}u(t))=\delta (t)$$

简化后，我们得到：
$$(9A-21A+12A)e^{-3t}u(t)+(16B-28B+12B)e^{-4t}u(t)=\delta (t)$$
$$0\cdot e^{-3t}u(t)+0\cdot e^{-4t}u(t)=\delta (t)$$

为了满足方程右边的 (\delta(t))，我们需要：
$$9A-21A+12A=0$$
$$16B-28B+12B=0$$

从中我们可以解得：
$$A=1$$
$$B=-1$$

因此，冲激响应为：
$$h(t)=(e^{-3t}-e^{-4t})u(t)$$

总结

通过假设冲激响应的形式为特征根对应的指数函数组合，并验证其满足系统微分方程，我们找到了满足条件的冲激响应。这就是“冲激平衡法”的基本思想。这样的方法利用了系统的线性和时不变特性，使得假设冲激响应的形式合理且易于验证。