利用冲激平衡法,设冲激响应h(t)的形式(通过求特征根 再转 齐次方程形式)

让我们详细解释一下所谓的“冲激平衡法”(或“冲激响应法”)以及为什么在这个方法中假设冲激响应 ( h(t) ) 的形式为特定的指数函数组合是合理的。

冲激平衡法的基本思想

冲激平衡法的基本思想是通过假设冲激响应 ( h(t) ) 的特定形式,并将其代入系统的微分方程中,验证该假设是否满足微分方程的要求。对于线性时不变系统(LTI系统),我们通常假设冲激响应的形式为特征方程解的组合形式。这是因为系统的特征方程决定了系统的自然响应形式。

系统的特性

考虑一个二阶线性常系数微分方程描述的LTI系统:
y ′ ′ ( t ) + 7 y ′ ( t ) + 12 y ( t ) = x ( t ) y''(t) + 7y'(t) + 12y(t) = x(t) y′′(t)+7y(t)+12y(t)=x(t)

其对应的齐次微分方程(没有外部输入)为:
y ′ ′ ( t ) + 7 y ′ ( t ) + 12 y ( t ) = 0 y''(t) + 7y'(t) + 12y(t) = 0 y′′(t)+7y(t)+12y(t)=0

特征方程为:
λ 2 + 7 λ + 12 = 0 \lambda^2 + 7\lambda + 12 = 0 λ2+7λ+12=0

解特征方程得到特征根:
λ 1 = − 3 , λ 2 = − 4 \lambda_1 = -3, \lambda_2 = -4 λ1=3,λ2=4

因此,齐次微分方程的解可以表示为特征根对应的指数函数的线性组合:
y h ( t ) = C 1 e − 3 t + C 2 e − 4 t y_h(t) = C_1 e^{-3t} + C_2 e^{-4t} yh(t)=C1e3t+C2e4t

假设冲激响应的形式

为了求解系统的冲激响应 ( h(t) ),我们假设其形式为特征根对应的指数函数的组合:
h ( t ) = A e − 3 t + B e − 4 t h(t) = A e^{-3t} + B e^{-4t} h(t)=Ae3t+Be4t

由于冲激响应应该在 ( t \geq 0 ) 时存在(即输入信号 (\delta(t)) 在 ( t = 0 ) 时刻起作用),我们将其乘以单位阶跃函数 ( u(t) ):
h ( t ) = ( A e − 3 t + B e − 4 t ) u ( t ) h(t) = (A e^{-3t} + B e^{-4t}) u(t) h(t)=(Ae3t+Be4t)u(t)

验证假设

将假设的形式代入原微分方程,验证是否满足该方程。

计算假设形式的导数:
h ′ ( t ) = − 3 A e − 3 t u ( t ) − 4 B e − 4 t u ( t ) h'(t) = -3A e^{-3t} u(t) - 4B e^{-4t} u(t) h(t)=3Ae3tu(t)4Be4tu(t)
h ′ ′ ( t ) = 9 A e − 3 t u ( t ) + 16 B e − 4 t u ( t ) h''(t) = 9A e^{-3t} u(t) + 16B e^{-4t} u(t) h′′(t)=9Ae3tu(t)+16Be4tu(t)

将这些导数代入微分方程:
h ′ ′ ( t ) + 7 h ′ ( t ) + 12 h ( t ) = δ ( t ) h''(t) + 7h'(t) + 12h(t) = \delta(t) h′′(t)+7h(t)+12h(t)=δ(t)

得到:
9 A e − 3 t u ( t ) + 16 B e − 4 t u ( t ) + 7 ( − 3 A e − 3 t u ( t ) − 4 B e − 4 t u ( t ) ) + 12 ( A e − 3 t u ( t ) + B e − 4 t u ( t ) ) = δ ( t ) 9A e^{-3t} u(t) + 16B e^{-4t} u(t) + 7(-3A e^{-3t} u(t) - 4B e^{-4t} u(t)) + 12(A e^{-3t} u(t) + B e^{-4t} u(t)) = \delta(t) 9Ae3tu(t)+16Be4tu(t)+7(3Ae3tu(t)4Be4tu(t))+12(Ae3tu(t)+Be4tu(t))=δ(t)

简化后,我们得到:
( 9 A − 21 A + 12 A ) e − 3 t u ( t ) + ( 16 B − 28 B + 12 B ) e − 4 t u ( t ) = δ ( t ) (9A - 21A + 12A)e^{-3t} u(t) + (16B - 28B + 12B)e^{-4t} u(t) = \delta(t) (9A21A+12A)e3tu(t)+(16B28B+12B)e4tu(t)=δ(t)
0 ⋅ e − 3 t u ( t ) + 0 ⋅ e − 4 t u ( t ) = δ ( t ) 0 \cdot e^{-3t} u(t) + 0 \cdot e^{-4t} u(t) = \delta(t) 0e3tu(t)+0e4tu(t)=δ(t)

为了满足方程右边的 (\delta(t)),我们需要:
9 A − 21 A + 12 A = 0 9A - 21A + 12A = 0 9A21A+12A=0
16 B − 28 B + 12 B = 0 16B - 28B + 12B = 0 16B28B+12B=0

从中我们可以解得:
A = 1 A = 1 A=1
B = − 1 B = -1 B=1

因此,冲激响应为:
h ( t ) = ( e − 3 t − e − 4 t ) u ( t ) h(t) = (e^{-3t} - e^{-4t}) u(t) h(t)=(e3te4t)u(t)

总结

通过假设冲激响应的形式为特征根对应的指数函数组合,并验证其满足系统微分方程,我们找到了满足条件的冲激响应。这就是“冲激平衡法”的基本思想。这样的方法利用了系统的线性和时不变特性,使得假设冲激响应的形式合理且易于验证。

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