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一元单调函数的不动点定理

定理
设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上单调递增，且 $f(a)\ge a,f(b)\le b$，则 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上存在不动点，即
$$\exists x_0\in [a,b],s.t.f(x_0)=x_0$$

证明
法1：（确界原理）
令
A = { x ∣ f ( x ) ≥ x } ∩ [ a , b ] A=\{x|f(x)\geq x\}\cap [a,b] A={x∣f(x)≥x}∩[a,b]

则 $a\in A,A\ne \varnothing$，由确界原理，$\sup A$ 存在，令 $x_0=\sup A$

一方面，对任意 $x\in A$，有 $x\le x_0$，由单调函数的性质
$$x\le f(x)\le f(x_0)$$

这说明 $f(x_0)$ 是 $A$ 的上界，故 $x_0\le f(x_0)$

另一方面，由 $x_0\le f(x_0)$ 得到 $f(x_0)\le f(f(x_0))$，这说明 $f(x_0)\in A$，则 $f(x_0)\le x_0=\sup A$

综上所述，$f(x_0)=x_0$

法2：（区间套原理）
将区间不断二分，构造闭区间套如下：
考虑 $x=\frac{a+b}{2}$
若 $f(\frac{a+b}{2})=\frac{a+b}{2}$，则不动点找到
若 $f(\frac{a+b}{2})<\frac{a+b}{2}$，则记 $[a,\frac{a+b}{2}]=[a_1,b_1]$
若 $f(\frac{a+b}{2})>\frac{a+b}{2}$，则记 $[\frac{a+b}{2},b]=[a_1,b_1]$

考虑 $x=\frac{a_1+b_1}{2}$
若 $f(\frac{a_1+b_1}{2})=\frac{a_1+b_1}{2}$，则不动点找到
若 $f(\frac{a_1+b_1}{2})<\frac{a_1+b_1}{2}$，则记 $[a_1,\frac{a_1+b_1}{2}]=[a_2,b_2]$
若 $f(\frac{a_1+b_1}{2})>\frac{a_1+b_1}{2}$，则记 $[\frac{a_1+b_1}{2},b_1]=[a_2,b_2]$

不断地做…………
得到一列单调降的闭区间 $[a_n,b_n],n=1,2,\dots$，且
$$\underset{n\to \infty }{\lim }(b_n-a_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b-a}{2^n}=0$$

由区间套原理，可得存在唯一$x_0\in [a,b]$ 使得 $x_0\in \bigcap _{n=1}^{\infty }[a_n,b_n]$，从而易得
$$o\le |f(x_0)-x_0|\le b_n-a_n$$

令 $n\to \infty$ 即得 $f(x_0)=x_0$

注：若把定理条件改为 $f(a)>a,f(b)<b$，则相应地，结论中的不动点范围变为 $(a,b)$

注：该定理是裴礼文《数学分析中的典型问题与方法（第3版）》单元练习1.1中的1.1.12的推广

参考书：

• 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
• 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
• 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著