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0.原理讲解

• 前缀和：快速求出数组中某一个连续区间的和

• 一维前缀和步骤：

  1. 预处理出来一个前缀和数组

     • dp[i]表示：[1, i]区间内所有元素的和
     • 状态方程转移：dp[i] = dp[i - 1] + arr[i]
       

  2. 使用前缀和数组

     • [l, r] -> dp[r] - dp[l - 1]
       

• 二维前缀和步骤：

  1. 预处理出来一个前缀和数组

     • dp[i][j]表示：从[1, 1]位置到[i, j]位置，这段区间里面所有元素的和
     • 状态方程转移：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1]
       

  2. 使用前缀和数组

     • $[x_1,y_1]-[x_2,y_2]$ -> $D=dp[x_2][y_2]-dp[x_1-1][y_2]-dp[x_2][y_1-1]+dp[x_1-1][y_1-1]$
       

• 为什么下标要从1开始计数？

  • 为了处理边界情况
    • 倘若l == 0，那么使用前缀和数组时就会出现dp[r] - dp[-1]
    • 但此时若从1开始计数，则为dp[2] - dp[0]，此时不会出现任何问题
  • arr[0] = 0是不会影响其他值的

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1.[模板]一维前缀和

1.题目链接

• [模板]一维前缀和

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2.模板代码实现

int main()
{int n = 0, q = 0;cin >> n >> q;vector<int> arr(n + 1);for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> arr[i];}// 预处理出来一个前缀和数组vector<long long> dp(n + 1);for(int i = 1; i <= n; i++){dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];}// 使用前缀和数组int l = 0, r = 0;while(q--){cin >> l >> r;cout << dp[r] - dp[l - 1] << endl;}return 0;
}

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2.[模板]二维前缀和

1.题目链接

• [模板]二维前缀和

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2.算法原理讲解

• 类⽐于⼀维数组的形式，如果能处理出来从[1, 1]位置到[i, j]位置这⽚区域内所有元素的累加和，就可以在$O(1)$的时间内，搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和

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3.模板代码实现

int main()
{int n = 0, m = 0, q = 0;cin >> n >> m >> q;// 读取数据vector<vector<int>> arr(n + 1, vector<int>(m + 1));for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= m; j++){cin >> arr[i][j];}}// 预处理前缀和矩阵vector<vector<long long>> dp(n + 1, vector<long long>(m + 1));for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= m; j++){dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1];}}// 使用预处理数组int x1 = 0, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 0;long long ret = 0;while(q--){cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;ret = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];cout << ret << endl;;}return 0;
}

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3.寻找数组的中心下标

1.题目链接

• 寻找数组的中心下标

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2.算法原理详解

• 由本题可感受出：前缀和类型的题不要硬套模板，题目问什么，根据题目，去微调模板就可以
  • 比如[0, i - 1]中的最大值，也可以用前缀和思想
• 从中⼼下标的定义可知，除中⼼下标的元素外，该元素左边的**「前缀和」等于该元素右边的「后缀和」**
  • 因此，可以先预处理出来两个数组，⼀个表⽰前缀和，另⼀个表⽰后缀和
  • 然后，可以循环枚举可能的中⼼下标，判断每⼀个位置的「前缀和」以及 「后缀和」，如果⼆者相等，就返回当前下标
• 前缀和数组：f[i]表示：[0, i - 1]区间，所有元素的和
  • 状态转移方程：f[i] = f[i - 1] + nums[i - 1]
• 后缀和数组：g[i]表示：[i + 1, n - 1]区间，所有元素的和
  • 状态转移方程：g[i] = g[i + 1] + nums[i + 1]
• 细节处理：
  • f[0] = 0，g[n - 1] = 0
  • f -> 从左向右 / g -> 从右向左
    

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3.代码实现

int PivotIndex(vector<int>& nums) 
{int n = nums.size();vector<int> f(n), g(n);// 预处理前缀和数组和后缀和数组// f[i] -> [0, i - 1]区间，所有元素的和for(int i = 1; i < n; i++){f[i] = f[i - 1] + nums[i - 1];}// g[i] -> [i + 1, n - 1]区间，所有元素的和for(int i = n - 2; i >= 0; i--){g[i] = g[i + 1] + nums[i + 1];}// 使用 前缀和 && 后缀和 数组for(int i = 0; i < n; i++){if(f[i] == g[i]){return i;}}return -1;
}

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4.除自身以外数组的乘积

1.题目链接

• 除自身以外数组的乘积

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2.算法原理详解

• 前缀积数组：f[i]表示：[0, i - 1]区间，所有元素的乘积
  • 状态转移方程：f[i] = f[i - 1] * nums[i - 1]
• 后缀积数组：g[i]表示：[i + 1, n - 1]区间，所有元素的乘积
  • 状态转移方程：g[i] = g[i + 1] * nums[i + 1]
• 细节处理：
  • f[0] = 1，g[n - 1] = 1`
  • f -> 从左向右 / g -> 从右向左
    

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3.代码实现

vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) 
{int n = nums.size();vector<int> f(n), g(n);f[0] = 1, g[n - 1] = 1; // 细节处理// 预处理前缀积数组和后缀积数组for(int i = 1; i < n; i++){f[i] = f[i - 1] * nums[i - 1];}for(int i = n - 2; i >= 0; i--){g[i] = g[i + 1] * nums[i + 1];}// 使用vector<int> ret(n);for(int i = 0; i < n; i++){ret[i] = f[i] * g[i];}return ret;
}