Eigen迭代求解器类

1. 迭代求解器核心类概览

Eigen 提供多种迭代法求解稀疏线性方程组 Ax=bAx=b，适用于大规模稀疏矩阵：

求解器类	适用矩阵类型	算法	关键特性
`ConjugateGradient`	对称正定（SPD）	共轭梯度法（CG）	高精度，内存效率高
`LeastSquaresConjugateGradient`	矩形矩阵	最小二乘 CG（LSQR）	解最小二乘问题 min⁡∥Ax−b∥2min∥Ax−b∥2
`BiCGSTAB`	非对称	稳定双共轭梯度法	适用一般矩阵，收敛速度快
`GMRES`	非对称	广义最小残差法	适合病态系统，需重启参数
`DGMRES`	非对称	动态 GMRES	自适应子空间大小
`MINRES`	对称不定	最小残差法	无需正定性

2. 通用属性与方法

所有迭代求解器继承自 Eigen::IterativeSolverBase，提供统一接口：

核心方法

方法	参数说明	返回值/功能	示例
`compute(const MatrixType& A)`	`A`: 稀疏矩阵	预计算分解（如预处理）	`solver.compute(A);`
`solve(const VectorType& b)`	`b`: 右侧向量	返回解向量 xx	`VectorXd x = solver.solve(b);`
`info()`	无	返回收敛状态（`Success`/`NoConvergence`）	`if (solver.info() != Success) {...}`
`iterations()`	无	返回实际迭代次数	`int iters = solver.iterations();`
`error()`	无	返回最后一次迭代的误差估计	`double err = solver.error();`

通用参数设置

方法	参数说明	默认值	示例
`setTolerance(Scalar tol)`	设置收敛容差	`1e-10`	`solver.setTolerance(1e-6);`
`setMaxIterations(int max_it)`	设置最大迭代次数	取决于求解器	`solver.setMaxIterations(1000);`
`setPreconditioner(Precond)`	设置预条件子（见下文）	`Identity`	`solver.setPreconditioner(ILU);`

3. 各求解器特有方法

(1) `ConjugateGradient` (CG)

特有设置：

cpp

// 设置对角预条件子（默认启用）
solver.setPreconditioner(DiagonalPreconditioner<double>());

(2) `BiCGSTAB`

重启参数（无默认重启）：

cpp

// 设置重启周期（GMRES/DGMRES 适用）
solver.set_restart(30);  // 每30次迭代重启

(3) `GMRES` / `DGMRES`

子空间大小：

cpp

// 设置子空间维度（默认30）
GMRES<SparseMatrix<double>> solver;
solver.set_restart(50);  // 重启周期=子空间大小

4. 预条件子（Preconditioner）

预条件子可加速收敛，Eigen 提供以下选项：

预条件子类	适用场景	配置方法
`DiagonalPreconditioner`	对角占优矩阵	默认启用（CG）
`IncompleteLUT` (ILU)	通用稀疏矩阵	`solver.preconditioner().setFillfactor(2);`
`IdentityPreconditioner`	无预处理（默认）	无需配置

ILU 预条件子示例

cpp

ConjugateGradient<SparseMatrix<double>, Lower, IncompleteLUT<double>> solver;
solver.preconditioner().setFillfactor(2);  // 填充因子
solver.compute(A);
VectorXd x = solver.solve(b);

5. 代码示例

基本使用（CG 求解对称正定系统）

cpp

#include <Eigen/Sparse>
#include <Eigen/IterativeLinearSolvers>
using namespace Eigen;SparseMatrix<double> A(1000, 1000);
VectorXd b = VectorXd::Random(1000);
// 填充 A 为对称正定矩阵...ConjugateGradient<SparseMatrix<double>> solver;
solver.setTolerance(1e-8);
solver.setMaxIterations(1000);
solver.compute(A);VectorXd x = solver.solve(b);
std::cout << "#iterations: " << solver.iterations() << ", error: " << solver.error() << std::endl;

BiCGSTAB 解非对称系统

cpp

BiCGSTAB<SparseMatrix<double>> solver;
solver.setTolerance(1e-6);
solver.compute(A);
VectorXd x = solver.solve(b);

6. 参数选择建议

参数	推荐值/策略	说明
容差 (`tolerance`)	`1e-6` ~ `1e-10`	根据精度需求调整
最大迭代次数	1000~5000	避免无限循环
预条件子	ILU 或 Diagonal	依矩阵特性选择
重启周期（GMRES）	30~50	内存与收敛速度的权衡