联邦学习论文阅读：2018 Federated learning with non-IID data

介绍

这是一篇2018年挂在arXiv上的文章，是一篇针对FL中数据Non-IID的工作。
作者发现，对于高度Non-IID的数据集，FedAvg的准确性下降了55%。
作者提出了可以用权重散度（weight divergence）来解释这种性能下降，这个权重散度用各client上的数据类别分布与总体分布之间的EMD（earth mover’s distance）来量化。

关于什么是EMD，gpt这样说：
EMD（Earth Mover’s Distance，即地球搬运距离）是一种度量两个分布之间差异的方法。其基本思想来源于土方工程，即计算将一个堆土变成另一个堆土所需的最小工作量。
具体来说，EMD用于度量两个概率分布之间的差异，特别是在多维空间中。假设有两个概率分布P和Q，它们分别由一组加权点组成，EMD计算的是将分布P转换为分布Q所需的最小代价。
计算EMD的一般步骤如下：

定义分布：两个分布P和Q分别由若干个点和其对应的权重（或质量）组成。
构建流量矩阵：确定从分布P的每个点到分布Q的每个点的流量（即将多少质量从一个点移动到另一个点）。
计算流动成本：每个点的流动成本通常是两个点之间的距离乘以流量。
优化流动方案：通过优化算法（如线性规划），找到总流动成本最小的方案，即EMD。

数学上，EMD可以被表述为一个线性规划问题。其目标函数是：

$\text{EMD}(P, Q) = \min \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f_{ij} d_{ij}$
其中，f_{ij}表示从分布P的第i个点到分布Q的第j个点的流量，d_{ij}表示这两个点之间的距离。约束条件包括：

从P的每个点流出的总流量不能超过该点的权重。
到达Q的每个点的总流量不能超过该点的权重。
所有流量的总和应等于两个分布总权重的较小值。

EMD在计算机视觉、图像处理和模式识别等领域中有广泛应用，特别是在图像检索中，用于比较不同图像的特征分布。

作者提出了一个策略用于解决Non-IID，那就是server来创建一小部分共享数据集来提升模型acc。这显然是一种centralization-accuracy的trade-off。

实验

作者用了三个数据集：MNIST、Cifar-10、Speech Commands dataset（一个语音数据集）划分出的KWS数据集。这三个数据集的output classes都是10。
数据集划分方面，做了三种划分：

iid：均匀分配给10个client；
non-iid（1）：每个client只有一类的数据，总共10个client；
non-iid（2）：每个client有两类的数据，总共10个client；

根据上图可知以下实验结论：
1、 IID数据下联邦学习和正常中心式的SGD训练结果基本一致；
2、 non-IID 会导致准确度下降，而且Non-IID(1)相对Non-IID(2)下降的更多，减少本地训练epoch增加通信频率可以一定程度降低损失，但是作用不大；
3、一个有意思的点是，用SGD预训练的模型刚刚开始结果就不错，但在CIFAR-10上在 non-IID 数据上训练还会降低精度；

分析

作者给出了权重散度weight divergence的定义公式：
$\text{weight divergence}=\frac{||w^{\text{FedAvg}}-w^{\text{SGD}}||}{||w^{\text{SGD}}||}$

接下来，作者分析weight divergence分歧的根本原因是client的数据分布与总体数据分布之间的距离，这个距离可以用EMD来评估。

然后就是一顿数学推导，得到这样一个公式：

上图中圈出的两部分就是误差的两个来源，分别是：

之前累计的梯度误差；
本次迭代产生的分布误差；

此外，作者根据公式得出两个结论：

开始训练时，各client的初始化权重最好一样；
EMD被定义为。

接下来，作者探究了EMD与weight divergence和test acc的关系：

改进方法

作者提出让server创建一个全局可共享的小部分数据集给各client。实验表明，仅用5%的全局数据，可以提高test acc约30%。
此外，server首次分发给client的模型可以是在这小部分数据集上预训练过的。

如上图所示，整个过程涉及到两个trade-off：

test acc和 $\beta=\frac{||G||}{||D||}\times 100\%$ 的trade-off，其中G为全局可共享数据集的样本量，D为所有client的样本量和。
test acc和 $\alpha$ 的tarde-off，其中 $\alpha$ 为server分给client的样本量与server全局可共享数据集的比值。