西瓜书学习——对数几率回归

对数几率回归(Logistic Regression)是一种广泛应用于分类问题的统计方法,特别是用于二分类问题。尽管它的名字中包含“回归”,但它实际上是一种分类算法,用于估计一个样本属于某个类别的概率。

对数几率回归的核心是使用逻辑函数(Logistic Function),也称为 sigmoid 函数,将线性回归的输出映射到 0 和 1 之间的概率。sigmoid 函数定义为:

S ( x ) = 1 1 + e − x S(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} S(x)=1+ex1

在这个函数中, x x x 是线性回归模型的输出,即 w T x + b \mathbf{w}^T \mathbf{x} + b wTx+b,其中 w \mathbf{w} w 是权重向量, x \mathbf{x} x 是特征向量, b b b 是偏置项。

对数几率回归模型的输出可以解释为样本属于正类(通常标记为1)的概率:

P ( y = 1 ∣ x ) = 1 1 + e − ( w T x + b ) P(y=1 | \mathbf{x}) = \frac{1}{1 + e^{-(\mathbf{w}^T \mathbf{x} + b)}} P(y=1∣x)=1+e(wTx+b)1

对于二分类问题,负类(通常标记为0)的概率可以通过 1 减去正类的概率得到:

P ( y = 0 ∣ x ) = 1 − P ( y = 1 ∣ x ) P(y=0 | \mathbf{x}) = 1 - P(y=1 | \mathbf{x}) P(y=0∣x)=1P(y=1∣x)

在训练过程中,对数几率回归模型通过最大化对数似然函数来估计参数 w \mathbf{w} w b b b。对数似然函数定义为:

L ( w , b ) = ∑ i = 1 N y i log ⁡ ( P ( y i = 1 ∣ x i ) ) + ( 1 − y i ) log ⁡ ( P ( y i = 0 ∣ x i ) ) L(\mathbf{w}, b) = \sum_{i=1}^{N} y_i \log(P(y_i=1 | \mathbf{x}_i)) + (1 - y_i) \log(P(y_i=0 | \mathbf{x}_i)) L(w,b)=i=1Nyilog(P(yi=1∣xi))+(1yi)log(P(yi=0∣xi))

其中, N N N 是样本数量, y i y_i yi 是第 i i i 个样本的标签(0或1), x i \mathbf{x}_i xi是第 i i i 个样本的特征向量。

对数几率回归模型通常使用梯度下降法或者其变体(如随机梯度下降法、批量梯度下降法等)来求解最优参数。在实际应用中,对数几率回归因其模型简单、易于解释和实现而被广泛使用。

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