【数据结构】FHQ-Treap

因为想要学可持久化平衡树，但是之前用平衡树基本都是splay这种需要旋转的，不利于可持久化，所以今天来学一下fhq-treap这种不需要旋转的平衡树

fhq-treap是一种基于分裂（split）和合并（merge）的一种treap，下文将会对其各个操作是如何利用分裂与合并进行详细说明

定义

下方代码全部基于以下定义：

int root, idx; // 分别表示根结点编号和当前用到哪个结点
int val[N]; // 结点权值
int pri[N]; // 结点优先级
int sz[N]; // 结点子树大小
int ch[N][2]; // 结点左右儿子

fhq-treap依然是一棵中序遍历按照val排序的平衡树，但是它的结构依赖于pri优先级，一个结点的两个儿子的pri一定比这个结点要小，然后我们随机取pri，就可以保证treap基本平衡

分裂 split

void split(int u, int x, int& lt, int& rt) // 把treap分成小于等于x和大于x的两个部分
{if (u == 0){lt = rt = 0;return;}if (val[u] <= x) // 当前点小于x，说明分界点在右儿子{lt = u;split(ch[u][1], x, ch[u][1], rt);}else // 当前点大于x，说明分界点在左儿子{rt = u;split(ch[u][0], x, lt, ch[u][0]);}pushup(u); // 更新结点u信息
}

合并 merge

把要合并的两棵子树的根结点记为 lt 和 rt，如果 lt 的优先级比 rt 大就把 rt 合并到 lt 的右子树，否则把 lt 合并到 rt 的左子树

int merge(int lt, int rt) // 合并根结点编号为lt和rt的两棵treap
{if (lt == 0 || rt == 0) return lt + rt;if (pri[lt] > pri[rt]) // lt的优先级比rt大 就把rt合并到lt的右子树{ch[lt][1] = merge(ch[lt][1], rt);pushup(lt);return lt;}else // rt的优先级比lt大 就把lt合并到rt的左子树{ch[rt][0] = merge(lt, ch[rt][0]);pushup(rt);return rt;}
}

插入 insert

插入就是创建单个结点的treap然后进行合并

void getnode(int x) // 创建权值为x的新结点
{sz[++ idx] = 1;ch[idx][0] = ch[idx][1] = 0;val[idx] = x;pri[idx] = rand(); // 优先值取随机数保证树形状随机
}void insert(int x) // 将权值为x的新结点插入treap
{int lt, rt;split(root, x, lt, rt); // 先把原treap分成小于等于x和大于x两个部分getnode(x); // 创建值为x的结点root = merge(merge(lt, idx), rt); // 先合并小于等于x的子树和新结点 再将其与大于x的子树合并return; // 返回新结点编号
}

删除 del

删除单个结点

void del(int x) // 删去权值为x的【一个】结点
{int lt, md, rt;split(root, x, lt, rt); // 先把原treap分成小于等于x和大于x两个部分split(lt, x - 1, lt, md); // 再把小于等于x的部分分成小于等于x-1和大于x-1两个部分// 此时以md为根结点的子树内所有结点的权值都是xmd = merge(ch[md][0], ch[md][1]); // 合并md的左右儿子 即删去md这个结点root = merge(merge(lt, md), rt); // 先合并小于等于x-1的部分和等于x的部分 再将其与大于x的子树合并return; // 返回根结点编号
}

删除所有值为 x 的结点

void del(int x) // 删去权值为x的【所有】结点
{int lt, md, rt;split(root, x, lt, rt); // 先把原treap分成小于等于x和大于x两个部分split(lt, x - 1, lt, md); // 再把小于等于x的部分分成小于等于x-1和大于x-1两个部分// 此时以md为根结点的子树内所有结点的权值都是x 直接删掉root = merge(lt, rt); // 合并小于等于x-1和大于x的部分return; // 返回根结点编号
}

根据值查询排名 rk

int rk(int x) // 查询权值为x的结点排名
{int lt, rt, res;split(root, x - 1, lt, rt); // 把原treap分成小于等于x-1和大于x-1两个部分res = sz[lt] + 1; // 权值为x的结点编号就是小于等于x-1的结点个数+1root = merge(lt, rt); // 恢复treapreturn res;
}

查询第k大的结点编号

int kth(int u, int k) // 在以u为根的子树中查找排名为k的结点【编号】
{int cur = u;while (1){if (k <= sz[ch[cur][0]]) cur = ch[cur][0];else{k -= sz[ch[cur][0]] + 1;if (k <= 0) return cur;else cur = ch[cur][1];}}
}

查询前驱结点编号

int pre(int x) // 找权值为x的结点前驱【编号】
{int lt, rt, res;split(root, x - 1, lt, rt); // 把原treap分成小于等于x-1和大于x-1两个部分res = kth(lt, sz[lt]); // 在小于等于x-1的部分找权值最大的结点编号root = merge(lt, rt); // 恢复treapreturn res;
}

查询后继结点编号

int suf(int x)
{int lt, rt, res;split(root, x, lt, rt); // 把原treap分成小于等于x和大于x两个部分res = val[kth(rt, 1)]; // 在大于x的部分找权值最小的结点编号root = merge(lt, rt); // 恢复treapreturn res;
}

例题

P3369 【模板】普通平衡树

题目链接

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define int long long
using i64 = long long;typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<int, char> PIC;
typedef pair<double, double> PDD;
typedef pair<int, PII> PIII;
typedef pair<int, pair<int, bool>> PIIB;const int N = 1e5 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int mod1 = 954169327;
const int mod2 = 906097321;
const int INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;int root, idx; // 分别表示根结点编号和当前用到哪个结点
int val[N]; // 结点权值
int pri[N]; // 结点优先级
int sz[N]; // 结点子树大小
int ch[N][2]; // 结点左右儿子void pushup(int u)
{sz[u] = sz[ch[u][0]] + sz[ch[u][1]] + 1;
}void split(int u, int x, int& lt, int& rt)
{if (u == 0){lt = rt = 0;return;}if (val[u] <= x){lt = u;split(ch[u][1], x, ch[u][1], rt);}else{rt = u;split(ch[u][0], x, lt, ch[u][0]);}pushup(u);
}int merge(int lt, int rt)
{if (lt == 0 || rt == 0) return lt + rt;if (pri[lt] > pri[rt]){ch[lt][1] = merge(ch[lt][1], rt);pushup(lt);return lt;}else{ch[rt][0] = merge(lt, ch[rt][0]);pushup(rt);return rt;}
}void getnode(int x)
{sz[++ idx] = 1;ch[idx][0] = ch[idx][1] = 0;val[idx] = x;pri[idx] = rand();
}int insert(int x)
{int lt, rt;split(root, x, lt, rt);getnode(x);root = merge(merge(lt, idx), rt);return idx;
}int del(int x)
{int lt, md, rt;split(root, x, lt, rt);split(lt, x - 1, lt, md);md = merge(ch[md][0], ch[md][1]);root = merge(merge(lt, md), rt);return root;
}int rk(int x)
{int lt, rt, res;split(root, x - 1, lt, rt);res = sz[lt] + 1;root = merge(lt, rt);return res;
}int kth(int u, int k)
{int cur = u;while (1){if (k <= sz[ch[cur][0]]) cur = ch[cur][0];else{k -= sz[ch[cur][0]] + 1;if (k <= 0) return cur;else cur = ch[cur][1];}}
}int pre(int x)
{int lt, rt, res;split(root, x - 1, lt, rt);res = val[kth(lt, sz[lt])];root = merge(lt, rt);return res;
}int suf(int x)
{int lt, rt, res;split(root, x, lt, rt);res = val[kth(rt, 1)];root = merge(lt, rt);return res;
}void solve()
{int n;cin >> n;while (n -- ){int op, x;cin >> op >> x;if (op == 1) insert(x);else if (op == 2) del(x);else if (op == 3){insert(x);cout << rk(x) << '\n';del(x);}else if (op == 4) cout << val[kth(root, x)] << '\n';else if (op == 5){insert(x);cout << pre(x) << '\n';del(x);}else if (op == 6){insert(x);cout << suf(x) << '\n';del(x);}}
}signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);int t = 1;// cin >> t;while (t--){solve();}
}