动态规划
-动态规划方法方法代表了这一类问题（最优子结构or子问题最优性）的有一半解法，是设计方法或者策略，不是具体算法
-本质是递推，核心是找到状态转移的方式，写出dp方程
-形式:记忆性递归递推
01背包问题
有n个重量和价值分别为wi，vi的物品，从这些物品中挑选出总重量不超过n的物品，求所有挑选方案中的值总和的最大值
1<=n<=1002
1<=wi,vi<=100
1<=w<=10000输入、n=4(w,v)={(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}w=5
输出7{选择第0，1，3号物品}因为对每个物品只有选和不选两种情况，所以这个问题称为01背包public class Case_01背包问题{static int[] w={2,1,3,2};//重量表static int[] v={3,2,4,2};//价值表static int n=4;//物品数量static int W=5;//背包的承重极限public static void main(String[] args){int ww=W;int ans=dfs(0,ww);System.out.println(ans);}static int dfs(int i,int ww){if(w<=0)return 0;//装不进去if(i==n)return 0;//每东西可选了int v2=dfs(i+1,ww);//不选择当前物品if(ww>=w[i]){int v1=v[i]+dfs(i+1,ww-w[i]);//选择当前物品return max(v1,v2);;}else{return v2;}}
static int[][] rec;
}重叠求解，记忆性递归
重叠子问题，不重复求解public static void main(String[] args){int ww=W;int ans=dfs(0,ww);System.out.println(ans);rec=new int[n][w+1];for(int i=0;i<n;i++){Arrays.fill(rec[i],-1);//每一行都填充为-1}ans=m(m,v,0,n,W);System.out.println(ans);}static int m(int i,int ww){mif(w<=0)return 0;//装不进去if(i==n)return 0;//每东西可选了//计算之前做查询if(rec[i][ww]>=0){return rec[i][ww];}int v2=m(i+1,ww);//不选择当前物品if(ww>=w[i]){int v1=v[i]+m(i+1,ww-w[i]);//选择当前物品ans=max(v1,v2);;}else{ans=v2;}//计算之后做保存rec[i][ww]=ans;return ans;}01背包问题dp（dynamic programming）
(w,v) 0 1 2 3 4 5
(2,3) 0 0 3 3 3 3
(1,2) 0 2 要2+0，不要3 5=要2+3，不要3 5=要2+3，不要3 5=要2+3，不要3
(3,4) 0 2 3 5=4+0,5 6=4+2,5 7=4+3，5
(2,2) 0 2 3 5 6 7定义从小到大的背包，初始化第一行，然后根据第一行去推其他行
看当前背包是否能装下给这个物品，若是装不下，则取上一行相同容量背包的最大价值为当前这个背包的价值
若是能装下，则要比较两种情况，选与不选，若选择这个物品，这加上这个物品的价值，背包则减去这个物品的容量，
剩余的容量肯定比之前小，则在上一行找剩余容量的最大价值，两者相加，即为选择这个物品的最大价值，若是不选，
则取上一行的最大价值为当前最大价值，比较选与不选两者的最大值，取最大值作为当前背包的最大价值
当dp到最后，右下角即为答案static int dp(){int[][] dp=new int[n][w+1];//初始化dp表的第一行for(int i=0;i<W+1;i++){if(i>=w[0]){//每种容量0号的物体dp[0][i]=v[0];}else{dp[0][i]=0;}}//其他行for(int i=1;i<n;i++){for(int j=0;j<W+1;j++){if(j>=w[i]){//要的起int i1=v[i]+dp[i-1][j-w[i]];//选择当前物品int i2=dp[i-1][j];//不选dp[i][j]=max(i1,i2);}else{dp[i][j]=dp[i-1][j];}}}return dp[n-1][W];}
钢条分割
Serling公司，购买长钢条，将其切割为短钢条出售,切割工序本身没有成本支出，公司管理层希望知道最佳的切割方案
假定我们知道Serling公司出售一段长为i英寸的的钢条价格为pi(i=1,2,...单位为美元)，钢条长度均为整英寸| 长度i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
价格pi | 1 | 5 | 8 | 16 | 10 | 17 | 17 | 20 | 24 | 30 |钢条切割问题是这样的，给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表pi(i=1,2...n),求切割钢条方案，使得售价收益rn最大，
注意，如果长度为n英寸的钢条的价值pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割递归->记忆性递归->dppublic class Case_钢条切割{//有重复子问题static int r(int x){if(x==0){return 0;}int ans=0;for(int i=1;i<=x;i++){//取不同种切法的最大值int v=p[i-1]+r(x-i);//p[i-1即]从不切开始ans=max(v,ans);}return ans;}static int[] vs=new int[n+1];static int r1(int x){if(x==0){return 0;}int ans=0;for(int i=1;i<=x;i++){//取不同种切法的最大值if(vs[x-i]==-1)vs[x-i]=r1(x-i);int v=p[i-1]+vs[x-i];//p[i-1]为这么长的钢材不切割时的价钱从不切开始ans=max(v,ans);}vs[x]=ans;return ans;}static int dp(){vs[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){//拥有钢条长度for(int j=1;j<=i;j++){vs[i]=max(p[j]+vs[i-j],vs[i]);}}return vs[n];}}
数字三角形
在数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大
路径上的每一步都只能网左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。
三角形的行数大于1小于等于100，数字为（0~9）
输入格式:
5//表示三角形的行数。接下来输入三角形73 88 1 02 7 4 44 5 2 6 5
要求输出最大和dfs
public static int maxSumUsingRecursive(int[][] triangle,int i,int j){int rowIndex=triangle.length;if(i==rowIndex-1){return triangle[i][j];}else{//顶点的值+max(左侧支线的最大值，右侧支路的最大值)return triangle[i][j]+Math.max(maxSumUsingRecursive(triangle,i+1,j),maxSumUsingRecursive(triangle,i+1,j+1));}}dp递推
打表法public static int maxSumUsingDp(int[][],int i,int j){int rowCount=triangle.length;//行数int columnCount=triangle[rowCount-1].length;//最后一行的列数int[][] dp=new int[rowCount][ColumnCount];for(int k=0;k<columnCount;k++){dp[rowCount-1][k]=trianle[rowCount-1][k]//初始化最后一行}for(int k=rowCount-2;k>=0;k--){for(int l=0;l<k;l++){dp[k][l]=triangle[k][l]+max(dp[k+1][l+1])}}return dp[0][0];}可以用滚动数组，来表示，底下一层求完，就没用了,可以覆盖掉public static int maxSumUsingDp(int[][],int i,int j){int rowCount=triangle.length;//行数int columnCount=triangle[rowCount-1].length;//最后一行的列数int[] dp=new int[ColumnCount];for(int k=0;k<columnCount;k++){dp[k]=trianle[rowCount-1][k]//初始化最后一行}for(int k=rowCount-2;k>=0;k--){for(int l=0;l<k;l++){dp[l]=triangle[k][l]+max(dp[k+1][l+1])}}return dp[0][0];}
最长公共子序列
求最大公共子序列
AB34C
A1BC2结果为ABC
更多案例请看测试用例ArrayList<Character>dfs(String s1,String s2){int len1=s1.length();int len2=s2.length();ArrayList<Character> ans=new ArrayList<>;for(int i=0;i<len1;i++){//以i字符开头的公共子序列ArrayList<Character> list=new ArrayList<>;//和s2的每个字符【【比较for(int j=0;j<len2;j++){if(s1.charAt(i)==s2.charAt(j)){//如果相同list.add(A1.charAt(i));list.addAll(dfs(s1.substring(i+1),s2.substring(j+1)));break;}}if(list.size()>ans.size()){//以不同字符开头公共序列，求最长ans=list;}}}dpB A 3 4 C s1
A 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1
B 1 1 1 1 1
C 1 1 1 1 2
2 1 1 1 1 2
s2
当找到相同的字符,每个位置，都找左、上、和左上角+1的最大值，若没有找到相同字符，则找左、上 的最大值
String solution(String s1,String s2){int len1=s1.length();int len2=s2.length();int[][] dp=new int[len1+1][len2+1];//动规数组int flag=0;//初始化第一行for(int i=1;i<=len1;i++){if(flag==1){dp[i][1]=1;}else if(s1.charAt(i-1)==s2.charAt(0){dp[i][1]=1;flag=1;}else{dp[i][1]=0;}}for(int i=2;i<=len1;i++){//Mfor(int j=2;j<=len2;j++){int maxOfleftAndUp=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);if(s1.charAt(i-1)==s2.charAt(j-1)){//从1开始的数组，所以要i-1dp[i][j]=Math.max(maxOfleftAndUp,dp[i-1][j-1]+1);}else{dp[i][j]=maxOfLeftAndUp;}}}return parseDp(dp,s1,s2);}//还原子最长子序列
private String parseDp(int[][] dp,String s1,String s2){int M=s1.length();int N=s2.length();StringBuilder sb=new StringBuilder();while(M>0&&N>0){//比左和上大，一定是当前位置的字符相等if(dp[M][N]>Math.max(dp[M-1][N],dp[M][N-1])){sb.insert(0,s1.charAt(M-1));M--;N--;}else{//一定选择的是左边和上边的大者if(dp[M-1][N]>dp[M][N-1]){M--;//往上移}else{N--;//往左移}}}return sb.toString();
}dp状态转移方程
用已知来推未知
完全背包问题
有n个重量和价值分别为wi，vi的物品，从这些物品中挑选出总重量不超过w的物品，求所有挑选方案中的价值总和的最大值(w,v)={(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(2,3) 0 0 3 3 6 6 9 9 12 12 15
(1,2) 0 2 2+2 2+4......
(3,4) 0 2 4 6
(2,2)两个核心式子:
拿一个后，剩余容量找当前行和上一行的最大值，一个不拿，找上一行该列的值，比较拿与不拿的最大值
该行前面就包含了不选的情况，当容量不足时，取上一行该容量的价值
因为需要选的物品重量价值不同，会出现当前行的该容量的价值比上一行的价值要大的情况
dp[i][j]=Math.max(v[i]+dp[i][ww-w[i]],dp[i-1][j])
上一行的该列，意味着旧的该容量价值的最大值，新的该容量的价值与旧的取最大值
因此上面求出来的dp还要和上一行dp比较一下
dp[i][j]=Math.max(dp[i][j],d[i-1][j])
最长递增子序列
输入4 2 3 1 5 6
输出3（因为 2 3 5 组成了最长递增子序列）
public class Case_最长递增子序列{public static void main(String[] args){int[] arr={4,2,3,1,5};System.out.println(f(arr));}private static int f(int[] arr){for(int i=0;i<arr.length;i++){int p=i;int cnt=0;for(int j=i+1;j<arr.length;j++){if(arr[j]>arr[p]){cnt++;p=j;}}if(cnt>maxCnt){maxCnt=cnt;}}//maxCnt=max(maxCnt,cnt);}return maxCnt;}dp
4 2 3 1 5 6
1 1 2 1 3 4并不是说最后一个就是最大递增子序列
把每位求出来，最后再整体作一个maxstatic int[] dp=new int[arr.length];
private static int dp(int[] arr){dp[0]=1;//初始化第一位为1for(int i=0;i<arr.length;i++){//每个位置cnt=1;for(int j=i-1;j>=0;j--){//向前找比当前位置小的if(arr[i]>arr[j]){cnt=max(dp[j]+1,cnt);}}dp[i]=cnt;}int ans=-1;for(int i=0;i<sb.length;i++){ans=max(ans,dp[i]);}return ans;
}dp[i]
长度为i最长递增子序列（LIS）最末尾的数避免陷入思维定势
初始化第一个元素，遍历剩余的元素，若是比最后一个dp元素大，则添加到其后面，若是比它小，则放在dp数组第一个大于arr的元素位置上4 2 3 1 5 6 4 8 5 9
4[1]
2[1] 3[2]
1[1] 3[2]
1[1] 3[2] 5[3]
1[1] 3[2] 5[3] 6[4]
1[1] 3[2] 4[3] 5[4] 8[5] 9[6]结果为6private static int dp1(int[] arr){dp=new int[arr.length];dp[1]=arr[0];//长度为1的最长递增子序列，初始化为第一个元素int p=1;//记录dp更新的最后位置for(int i=1;i<arr.length;i++){if(arr[i]>dp[p]){dp[p+1]=arr[i];p++;}else{//扫描dp数组，替换第一个比arr大的//可以用二分法，优化查找for(int j=0;j<=0;j++){if(dp[i]>arr[i]){dp[i]=arr[i];break;}}}}return 0;
}
小结
动态规划用于解决多阶段决策最优化问题
三要素:
-阶段
-状态
-决策
两个条件:
-最优子结构(最优化原理)
-无后效性:当前状态是前面状态的完美总结是否可以用动态规划，否则用搜索
-模型匹配:多做题，掌握经典模型一维:上升子序列模型，背包波形二维:最长公共子序列问题
-寻找规律:规模由小到大，或者由大到小，做逐步分许
-放宽条件或增加条件
一般过程-找到过程演变中变化的量（状态），以及变化的规律（状态转移方程）-确定一些初始状态，通常需要dp数组来保存-利用状态转移方程，退出最终答案
解法-自顶向下，递归:如果有重叠子问题，带备忘录-自底向上，递推贪心和动规可以用局部最优解来推导全局最优解,即动态规划贪心:这一阶段的解，由上一阶段直接推导出动规:当前问题的最优解，不能从上一阶段子问题简单得出，需要前面多杰阶段多层子问题共同计算出，因此需要保留历史上求解过的子问题及其最优解
设计模式总结)
 理解 Elixir 中的宏 Macro, 第四部分：深入化)