欧拉回路，指遍历图时通过图中每条边且仅通过一次，最终回到起点的一条闭合回路，适用于有向图与无向图，如果不强制要求回到起点，则被称为欧拉路径。

欧拉图：具备欧拉回路的图

• 无向图：图的所有顶点度数都是偶数
• 有向图：图的所有顶点入度与出度相等

1->2->3->4->5->1即为一条欧拉回路，欧拉图可以有多个欧拉回路，其起点不唯一

半欧拉图：具有欧拉路径但不具有欧拉回路

• 无向图：有且仅有两个顶点度数为奇数，这两个点就是欧拉路径的起始点
• 有向图：有且仅有一个顶点出度-入度=1，且有且仅有一个入度-出度=1，这两个即为起始点

1->2->3->1->5->4->3即为一条欧拉路径，1,3为起始点

求取一个图的欧拉路径，可以利用dfs，每遍历一条边就将这条边消去，当遍历到的顶点度数为0时则将其入栈，最后一个个出栈，就是欧拉路径经过的顶点顺序

判断图是否具有欧拉路径

bool iseuler() {int c=0;for (int i=1; i<=n; i++) {if (edge[i]%2==1) c++;}if (c>2) return false;//超过两个度数为奇数的点，则不能形成欧拉路径if (c>0) flag=false;//记录是否为欧拉图，0个奇数度数点则为欧拉图return true;
}

求取欧拉路径

void dfs(int node){for (int i=1;i<=n;i++){//不断遍历，直到这个顶点度数为0if (g[node][i]){g[node][i]=g[i][node]=0;//无向图需要消除双向边，有向图则只消除一条edge[i]--;edge[node]--;dfs(i);//继续遍历下一个顶点}}s.push(node);//度数为0入栈
}void euler() {if(flag) {//欧拉图，起点随意for (int i=1; i<=n; i++)if (edge[i]) {dfs(i);break;}}else {//半欧拉图，起点需要是奇数度点for (int i=1;i<=n;i++){if (edge[i]%2==1){dfs(i);break;}}}
}

完整代码

 

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1005
using namespace std;
int n;
int g[maxn][maxn]= {0};
int edge[maxn]={0};
bool flag=true;
stack<int> s;
bool iseuler() {int c=0;for (int i=1; i<=n; i++) {if (edge[i]%2==1) c++;}if (c>2) return false;if (c>0) flag=false;return true;
}void dfs(int node){for (int i=1;i<=n;i++){if (g[node][i]){g[node][i]=g[i][node]=0;edge[i]--;edge[node]--;dfs(i);}}s.push(node);
}void euler() {if(flag) {for (int i=1; i<=n; i++)if (edge[i]) {dfs(i);break;}}else {for (int i=1;i<=n;i++){if (edge[i]%2==1){dfs(i);break;}}}
}int main() {cin>>n;int x,y;int k=n;while(k--) {cin>>x>>y;g[x][y]=g[y][x]=1;edge[x]++;edge[y]++;}if (!iseuler()) {cout<<"false";return 0;}euler();while(!s.empty()){cout<<s.top()<<' ';s.pop();}return 0;
}

运行结果

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. - 力扣（LeetCode）

力扣753 破解保险箱

示例 1：

输入：n = 1, k = 2
输出："10"
解释：密码只有 1 位，所以输入每一位就可以。"01" 也能够确保打开保险箱。

示例 2：

输入：n = 2, k = 2
输出："01100"
解释：对于每种可能的密码：
- "00" 从第 4 位开始输入。
- "01" 从第 1 位开始输入。
- "10" 从第 3 位开始输入。
- "11" 从第 2 位开始输入。
因此 "01100" 可以确保打开保险箱。"01100"、"10011" 和 "11001" 也可以确保打开保险箱。

以n=3举例，我们可以将所有n-1长度的密码组合00,01,10,11看作四个顶点，它们的边即为可能的保险箱密码，求取此图欧拉回路即可

//欧拉回路
#define mod 
bool book[10000];
char ans[10000];
int kk,l,m;void dfs(int node){for (int i=0;i<kk;i++){int edge=node*10+i;if(!book[edge]){book[edge]=true;dfs(edge%m);ans[l++]=i+'0';}}
}
char* crackSafe(int n, int k) {m=pow(10,n-1);memset(book,false,sizeof(book));memset(ans,0,sizeof(ans));kk=k;l=0;book[0]=true;dfs(0);for (int i=0;i<n;i++){ans[l++]='0';}return ans;
}