最近整理了一下我以前对Erdös-Turán猜想研究做的分析，得到的结论是：1927年产生的van der Waerden的结果尚未被正确证明，现存几个证明都有问题，特别地[F]的方法中无法证明在那个定义下的度量产生的拓扑里某些闭集是紧致集（见[YHS]第一章），用H.Furstenberg的方法无法证明Szemerédi的结果，是因为对那个较为抽象的度量空间无法引进测度（见[YHS]第二章）。

这里应注意：所谓“Haar 测度”也是只对局部紧致的拓扑群建立的，即必须首先是个群，即使这样还存在说不清的很多地方，也即连Haar测度还无法建立。著名的Riesz表示定理（见[R]），还得先假设存在一个线性泛函，然后据此构造一个测度。因为测度要求的可列可加性绝非一般定义能达到的，只有在欧氏空间用区间严格定义。没有测度当然无法定义积分。在整个遍历理论中，测度都是假设存在的，包括对“马尔科夫链”的研究。

Szemerédi等人原始的结果证明，对 L≥4 都要用到未证明的van der Waerden定理。只有Roth对L=3 的证明对，其他人的改进全错。陶哲轩跟B.Green在错误道路上走得更远，跟我上次说他没解决另一个猜想类似，是因为无法引进存在的测度去定义积分，但这是他获奖作品。所以对代数几何引进不存在的一些“未定元”的错误不可小视。但Roth获奖作品也错（企图改进Liouville定理）。

[F]H.Furstenberg, Poincaré recurrence and number theory, Bull. Amer. Math. Soc.(N.S.), 5(1981), 211-234.
[H]P.R.Halmos，Measure Theory, GTM 18, Springer, 1974
[R]W.Rudin, Real and complex analysis, third edition，1987.
[YHS]叶向东，黄文，邵松，《拓扑动力系统概论》，现代数学基础丛书，2008。