算法系列--动态规划--背包问题(2)--01背包拓展题目

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作者：Lvzi
文章主要内容：算法系列–动态规划–背包问题(2)–01背包拓展题目

大家好,今天为大家带来的是算法系列--动态规划--背包问题(2)--01背包拓展题目

1.分割等和⼦集

链接:
https://leetcode.cn/problems/partition-equal-subset-sum/
在这里插入图片描述

分析:
本题属于01背包问题

从数组中选择一些数据,使其刚好符合某种带限制条件的和,就符合01背包问题的思路

01背包问题就是选择一些物品,实现不超过背包最大容量的最大价值

本题是选择一些数,判断能够实现最大和刚好等于sum/2的情况

还有一个是在分析状态转移方程时,最后一个位置选或者不选也可以用01问题

代码:

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int n = nums.length;int sum = 0;for(int x : nums) sum += x;// 求和if(sum % 2 == 1) return false;// 特判int N = sum / 2;// 创建dp表boolean[][] dp = new boolean[n + 1][N + 1];dp[0][0] = true;// 初始化for(int i = 1; i <= nums.length; i++) {for(int j = 1; j <= sum / 2; j++) {dp[i][j] = (dp[i - 1][j]) || (j - nums[i - 1] >= 0 && dp[i - 1][j - nums[i - 1]]);}}// 返回值return dp[nums.length][sum / 2];}
}

空间优化后的代码:

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int n = nums.length, sum = 0;for(int x : nums) sum += x;if(sum % 2 == 1) return false;int N = sum / 2;boolean[] dp = new boolean[N + 1];dp[0] = true;for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = sum / 2; j >= nums[i - 1]; j--) dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i - 1]];return dp[sum / 2];}
}

2.⽬标和

链接:
https://leetcode.cn/problems/target-sum/
在这里插入图片描述

分析:

题目要求是必须用到数组里面的所有数字进行拼接(可正可负),判断可以拼接为target的最大组合数

首先,因为要用到数组中所有的数字,所以可以先把数组总和sum求出,接着我们可以把sum拆分为两部分,一部分是拼接+的数字总和a,另一部分是拼接-的总和b(b是大于0的,这里仅仅只是数字的相加),则可以得出:

a + b == sum
a - b == target

将两式相加可得:
a == (sum + target) / 2

示意图:
在这里插入图片描述

那么本道题就可以转化为在数组中挑选若干个数,使其和等于a的最大组合数,这不就是01背包问题吗!,在一个集合内部挑选若干个物品,在满足某个限制的前提下,实现xxxx

说明:求出a之后还需要判断是否越界,主要有两种不符合条件的情况:

a < 0,因为本题的target可以是负数,所以a可能是负数,但是数组中的数全是大于0的,根部无法凑出一个小于0的数
(sum + target) / 2 != 0:当除不尽的时候就代表不存在这样的a,也就无法凑出target,返回0

接下来就是动态规划的思路:

状态表示:
- dp[i][j] :nums在[1,i]区间数字,和为j的最大组合数
状态转移方程
- 和经典的背包问题一样,也是根据最后一个位置选或不选来推导状态转移方程,要注意的是,本题求的是最大组合数,也就是dp[i][j]应该是两种情况的总和
初始化
- 初始化主要考虑第一行和第一列
填表顺序
- 从左往右,从上往下
返回值
- dp[n][a]

代码:

class Solution {public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int a = 0, sum = 0;for(int n : nums) sum += n;// 求和a = (target + sum) / 2;// 计算目标值if(a < 0 || (sum + target) % 2 == 1) return 0;// 创建dp表int n = nums.length;int[][] dp = new int[n + 1][a + 1];dp[0][0] = 1;// 填表for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 0; j <= a; j++) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];if(j - nums[i - 1] >= 0)dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]];}}return dp[n][a];}
}

空间优化后的代码

class Solution {public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int a = 0, sum = 0;for(int n : nums) sum += n;// 求和a = (target + sum) / 2;// 计算目标值if(a < 0 || (sum + target) % 2 == 1) return 0;// 创建dp表int n = nums.length;int[] dp = new int[a + 1];dp[0] = 1;// 填表for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = a; j >= nums[i - 1]; j--)// 注意优化后的便利顺序dp[j] += dp[j - nums[i - 1]];return dp[a];}
}

第一行不初始化,放到填表之中,也是背包问题常用的一种优化手段

3.最后⼀块⽯头的重量II

链接:
https://leetcode.cn/problems/last-stone-weight-ii/description/
在这里插入图片描述

分析:
本题的难点就在于转化,光看数字无法得出什么有效的结论,我们将数字换为字母,看能得出什么结论:
在这里插入图片描述

最后发现整个问题的思路很像目标和那道题目(就在上面),但是目标和那道题目最终求的是一个具体数字,本题要求的是最后的值的绝对值尽可能的小,还是套用和目标和一样的分析思路,整个数组的和是sum,可以根据匹配的符号不同分为两部分a,b

假设a>b,则求得就是a-b的最小值,对于数组中的每一个数都是选或不选,这就是01背包问题的特征,可以使用01背包问题的思路解决

状态表示:

dp[i][j]:在[1,i]区间内,选取一定的数字,在不超过j的前提下,可以实现的最大和

状态转移方程和初始化都比较简单,这里不再赘述

返回值:

最终返回的应该是a-b的最小值a = dp[n][sum/2],那么b = sum - a,所以最终应该返回sum - 2 * dp[n][sum/2]

class Solution {public int lastStoneWeightII(int[] stones) {int n = stones.length, sum = 0;for(int x : stones) sum += x;int[][] dp = new int[n + 1][sum/2 + 1];// 创建dp表// 填表for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 0; j <= sum/2; j++) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];if(j - stones[i - 1] >= 0)dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],dp[i - 1][j - stones[i - 1]] + stones[i - 1]);}}return sum - 2 * dp[n][sum/2];// 返回(a-b)绝对值的最小值}
}

空间优化后的代码:

class Solution {public int lastStoneWeightII(int[] stones) {int n = stones.length, sum = 0;for(int x : stones) sum += x;int[] dp = new int[sum/2 + 1];// 创建dp表// 填表for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = sum/2; j >= stones[i-1]; j--) dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j - stones[i - 1]] + stones[i - 1]);return sum - 2 * dp[sum/2];// 返回(a-b)绝对值的最小值}
}