文章目录
- 最大加权矩形
- 题目描述
- 输入格式
- 输出格式
- 样例 #1
- 样例输入 #1
- 样例输出 #1
- 提示
- 二维前缀和
- 易错
最大加权矩形
题目描述
为了更好的备战 NOIP2013,电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为,我们不光需要机房,我们还需要运动,于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地,听说她们都是电脑组的高手,校长没有马上答应他们,而是先给她们出了一道数学题,并且告诉她们:你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。
校长先给他们一个 n × n n\times n n×n 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形,即矩阵的每一个元素都有一权值,权值定义在整数集上。从中找一矩形,矩形大小无限制,是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 [ − 127 , 127 ] [-127,127] [−127,127] ,例如
0 –2 –7 0 9 2 –6 2
-4 1 –4 1
-1 8 0 –2
在左下角:
9 2
-4 1
-1 8
和为 15 15 15。
几个女孩子有点犯难了,于是就找到了电脑组精打细算的 HZH,TZY 小朋友帮忙计算,但是遗憾的是他们的答案都不一样,涉及土地的事情我们可不能含糊,你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗?
输入格式
第一行: n n n,接下来是 n n n 行 n n n 列的矩阵。
输出格式
最大矩形(子矩阵)的和。
样例 #1
样例输入 #1
4
0 -2 -7 09 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
样例输出 #1
15
提示
1 ≤ n ≤ 120 1 \leq n\le 120 1≤n≤120
二维前缀和
段代码用于解决一个问题:在一个给定的n×n权值矩阵中找到一个子矩阵,使得这个子矩阵的所有元素之和最大。这种问题在计算机科学中称为最大子矩阵和问题。代码使用了动态规划的技术通过预计算前缀和来优化求解过程。下面是对代码的详细注释:
#include<bits/stdc++.h> // 包含STL库,常用于竞赛编程
using namespace std; // 使用标准命名空间// 定义矩阵a来存储输入的矩阵,s用于存储计算的前缀和
int a[130][130],s[130][130];int main() // 主函数
{int n; // 矩阵的大小scanf("%d",&n); // 读入矩阵的大小int max=INT_MIN; // 初始化最大子矩阵和为整数类型可能的最小值// 读入矩阵并计算前缀和for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){scanf("%d",&a[i][j]); // 读入矩阵元素值// 计算到当前位置的前缀和,即左上角到当前位置构成的子矩阵的所有元素和s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];}}// 这四个嵌套的for循环用于找出所有可能的子矩阵,并计算它们的和for(int x1=1;x1<=n;x1++){for(int y1=1;y1<=n;y1++){for(int x2=x1;x2<=n;x2++){for(int y2=y1;y2<=n;y2++){// 计算子矩阵(x1,y1)到(x2,y2)的元素和int z=s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1];if(max<z) max=z; // 如果计算得出的和大于当前已知的最大值,则更新最大值}}}}printf("%d",max); // 输出最大子矩阵的和return 0; // 程序结束}
代码首先读入矩阵大小n,并初始化最大子矩阵和为INT_MIN
。然后读入矩阵元素,并且在读入的同时计算前缀和。这个前缀和用于优化计算任意子矩阵的元素和的过程。随后,通过四层嵌套循环枚举所有可能的子矩阵,计算它们的和,并更新最大值。最后输出最大子矩阵的和。
易错
在枚举右下角的点时,我犯了一个致命错误,我右下角的点从1开始,而不是从左上角的点开始
错误代码:
for(int x1=1;x1<=n;x1++){for(int y1=1;y1<=n;y1++){for(int x2=1;x2<=n;x2++){for(int y2=1;y2<=n;y2++){// 计算子矩阵(x1,y1)到(x2,y2)的元素和int z=s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1];if(max<z) max=z; // 如果计算得出的和大于当前已知的最大值,则更新最大值}}}}