西瓜书机器学习AUC与ℓ-rank（loss）的联系理解以及证明（通俗易懂）

前言

在学习到这部分时，对 ℓ-rank 以及AUC的关系难以理解透彻，在网上看到其他博主也并未弄明白，大家大多写自己的理解，我希望您在看完这篇文章时能够深刻理解这二者的关系，如果我的理解有误，希望您在评论区指正，给出您的见解。

首先理解什么是AUC？

首先理解什么是ROC曲线，ROC曲线如何绘制？

ROC曲线，即接收者操作特征曲线（Receiver Operating Characteristic Curve），反映了在不同分类阈值下真正类率（TPR）和假正类率（FPR）的变化情况。

绘制ROC曲线的过程如下：

给定m+个正例和m-个反例，首先将分类的阈值设置到最大，此时所有的例子预测结果都是反例，此时真正例率和假正例率均为0，在坐标原点（0，0）处标记一个点。
然后，逐步降低阈值，每次降低都将导致更多的样例被划分为正例。对于每个降低的阈值，计算当前的真正例率和假正例率，并在ROC图上标记相应的点。
最后，用线段连接这些点，即得ROC曲线。

通俗地说，分类阈值就像一个“门槛”，数据样本需要通过这个“门槛”才能被归类到某个类别中。在二分类问题中，模型通常会为每个样本输出一个概率值，表示该样本属于正例（比如：某种疾病的患者）的概率。这时，我们就需要选择一个阈值，来决定当这个概率达到多少时，我们就认为这个样本是正例。

例如，如果我们设定阈值为0.5，那么当模型输出的概率（概率就是模型对一个例子的判断，比如说10%可能是正例，90%是反例）大于或等于0.5时，我们就认为这个样本是正例（那么刚才认为10%为正例就不被认为是正例）；如果小于0.5，则认为是负例（比如：非疾病患者）。

我们所做的就是逐渐把开始设定的正例阈值从100%逐渐降低到0。然后看模型的结果被划分为真正例与假正例的结果。（比如，有个正例，机器给的判断是50%概率是正例，那么他就会在之后我们把阈值降到50%时被纳入正例，此时，这是一个正例，模型判断也为正例，那么就被纳入真正例，如果是这是一个反例，模型给出50%概率的正例，那么此时应该别纳入假正例）。

在绘制ROC曲线时，我们会使用多个不同的阈值来计算真正例率（True Positive Rate，TPR）和假正例率（False Positive Rate，FPR）。TPR表示实际为正例的样本中被预测为正例的比例，而FPR表示实际为负例的样本中被错误地预测为正例的比例。通过改变阈值，我们可以得到不同的TPR和FPR组合，从而绘制出ROC曲线。

具体来说，从（0，0）开始，对于给定的m1个正例和m2个反例，根据预测结果进行排序，依次将这些样例划分为正例。若为**真正例，则y值增加1/m1，否则x值增加1/m2。**最后，将这些点连线，所得到的面积就是AUC。
在这里插入图片描述

什么是AUC

AUC（Area Under the Curve）曲线则是基于ROC曲线计算得到的。AUC值表示ROC曲线下的面积，用于量化评估模型的性能。AUC值越接近1，表示模型的性能越好。

ℓ-rank

在这里插入图片描述
先看这个表达式，我们需要理解一些东西

m+与m -, D +与D-,II

m +与m -分别对应正例与反例的个数。
D+与D-分别对应正例集与反例集。
II（罗马数字2），如果在II后括号中的为正确表达式，那么返回1，否则返回0。

f函数

f函数可以认为是被判断出来的先后，如果例子被先判断出来，那么函数的值大，反之就小
ℓ-rank被称为排序损失，为什么要叫排序损失呢？
我们不妨看看刚才的ROC曲线
如果是正例，那点就在上边，如果是反例，就在上一个点的右边，所以咱们最好的情况就是上来把所有的正例全部找出来，就是ROC曲线一直向上，最后才开始向右走。在这里插入图片描述
AUC表明的其实是一种顺序关系，即是在增大分类阈值（也就是让模型判断出来多少正例）时，正例会比反例被早判断出来的概率，也就是对正例的辨别能力，那这是如何在ROC曲线上体现出来的呢？我们以这个图的第二个点为例子（假设它的坐标为（0.1）），我们可以发现在这个点的右侧，每一格（m，1）在ROC图线上都有对应的点，每个对应的点都是反例，这些反例就是在之后被发现的，因为从左下到右上，是分类阈值逐渐变大的过程，也就是相对偏后，那么，以我们这张图为例，在点（0,1）的右边的（20 - 0）* 1的矩阵（总共有20格）就是在指定阈值下正例比反例早被发现的概率（概率需要归一化）。欸，那把所有的点的右侧部分的面积加起来归一化，不就是AOC，不就是正例比反例早发现的概率？在这里插入图片描述
同理可得，在上边我们可以知道，一个点垂直向上形成的单位宽度的矩阵就是对于一个反例来说，它比部分正例早发现的概率（需要归一化）。
于是，AUC曲线的另一种表示形式应为

AUC = 1 - ℓ-rank

那么我们可以很轻易发现AUC与ℓ-rank的关系了，对于我们画的图AUC是右下侧，ℓ-rank是左上侧。
但是书上的还写了一个1/2 的等于项，这是为什么呢？

1/2项的来历

我们说到，ROC图线是不断增加阈值画点连线做成的图，那么他不一定是一个个例子来的，有可能阈值从1% -> 2%增加了两个例子，这两个例子得到的结果是，一个真正例，一个假正例，这导致真正例，假正例都增加了，这就形成了一个斜着的线，在左上，右下就形成了一个三角形，这就是1/2项的来历，此时，AUC也要加一个1/2的等于项。