堆：是一种特殊的完全二叉树，一般通过顺序表存储，分为大堆和小堆两类。

大堆：父节点的值恒大于子节点的值。

小堆：父节点的值恒小于子节点的值。

创建堆，可以使得根节点成为整个堆中保存最大或最小的值的结，根据这个特性，堆可以用于排序和解决TopK问题。

创建堆：

方法一：向上排序法

原理：对由前k个结点构成的堆，插入第k+1个结点到最后，然后不断与其父节点进行比对，符合条件就互换，不符合条件就留在原地结束循环。循环结束后，前k+1个结点仍是堆。

时间复杂度：O（nlogn）

方法二：向下排序

原理：首先创造一个完全二叉树，然后从倒数第二层最后一个结点开始，不断以当前结点为根节点创建堆，直至最后以根节点创建堆。每次创建堆，都是先比较该结点的子节点，找出更可能上移的结点，然后与父节点比较，符合条件就互换，然后继续该步骤，不符合条件就停止循环。循环结束后，该部分就成为了一个堆。

时间复杂度：O（N）

堆排序：

思路：将根节点与最后一个结点互换，使得最后一个结点永远保存当前最大（小）的结点，然后对互换后的根节点进行向下排序，使得排完序列后整个二叉树仍然是堆，再将新的根节点与倒数第二个结点互换，重复上述操作。最后，整个堆就是一个升序或降序的顺序表。

时间复杂度：O（NlogN）

每个根节点最多移动logN次，一共N-1个结点进行移动，因此时间复杂度是NlogN。

具体代码实现：

void swap1(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}
void up_insert1(HPDataType* a, int i)
{int child = i;int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){swap1(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}}
void down_insert1(HPDataType* a, int n, int i)
{int parent = i;int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]){child++;}if (a[parent] > a[child]){swap1(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = child * 2 + 1;}else{break;}}}
void HeapSort(int* a, int n)
{//创建堆for (int i = 1; i < n; i++){up_insert1(a, i);}测试//for (int i = 0; i < n; i++)//{//	printf("%d ", a[i]);//}//printf("\n");//排序for (int i = 0; i < n; i++){swap1(&a[0], &a[n - 1-i]);down_insert1(a, n - i - 1, 0);}//测试for (int i = 0; i < n; i++){printf("%d ", a[i]);}printf("\n");}

TopK问题：

问题要求：对N个数据，只取最大（或最小）的前k个。

思路：先用前k个数据创建堆，此处要求取最大的前k个，则创建小堆。

创建小堆后根元素为整个堆中最下的元素，新的元素若比根节点大则替换根节点，然后进行向下排序，使得整个二叉树仍然为堆。进行N-k次上述操作，得到的堆就会保存最大的前k个元素。

具体代码：

void CreateNDate()
{// 造数据int n = 10000;srand(time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (size_t i = 0; i < n; ++i){int x = rand() % 1000000;fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}
void swap1(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}
void down_insert1(HPDataType* a, int n, int i)
{int parent = i;int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]){child++;}if (a[parent] > a[child]){swap1(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = child * 2 + 1;}else{break;}}}
void PrintTopK(int k)
{const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "r");//创建小堆  (找最大的前k个)int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (arr == NULL){perror("malloc");exit(-1);}int i = 0;int num = k;while (num--){fscanf(fin, "%d\n", &arr[i]);i++;}Heap hp;HeapCreate(&hp, arr, k);//插入其余元素int x = 0;int count = 0;while (fscanf(fin, "%d\n", &x) != EOF){   /*	if (count % 1000 == 0){x *= 1000;}*/if (x > hp.a[0]){hp.a[0] = x;down_insert1(hp.a, k, 0);}}printf("插入成功\n");//测试for (int j = 0; j < k; j++){printf("%d  ",hp.a[j]);}printf("\n");}