[COCI2016-2017#2] Prosječni 解题记录

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题意简述

构造一个 $n\times n$ 的矩阵，使得每一行/列的平均都在这一行/列当中，并且矩阵内各个数字不相同。

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题目分析

观察样例就可以轻松发现：当 $n$ 为奇数时，矩阵内的各个元素就是 $1\sim n$ 的按顺序排列。
证明：

• 对于每一行，公差为 $1$，设每一行第一个数为 $x$，第 $k$ 项为 $x+(k-1)$ 其中 $1\le k\le n$，那么这一行的和就是 $\frac{(x+x+n-1)\times n}{2}$，平均数是 $\frac{x+x+n-1}{2}=x+\frac{(n-1)}{2}$。
• 因为 $n$ 是奇数，所以 $\frac{n-1}{2}$ 是整数，且 $1\le \frac{n-1}{2}\le n$。
• 每一列同理。
  证毕。
  如果 $n$ 为偶数，我们以同样的方式构造，每一行的平均数同样为 $\frac{x+(n-1)}{2}$，但是这个时候它是小数，我们只需要对这个矩阵的每一项都 $\times 2$，这样平均数就变成了 $x+(n-1)$ 这个整数。但是它也是一个奇数，怎么办呢？因为我们构造的矩阵公差相同，所以和平均数最相近的两个数肯定是中间的，为了使和不变，我们可以将每一行的第 $n÷2$ 项 $+1$，同时将第 $n÷2+1$ 项 $-1$，那么每一行就构造完成了（这里也说明了只有 $n=2$ 的时候才无解）。
  接下来考虑每一列，只需要将最后一行加上 $n^2$ 即可满足条件。
  证明：
• 对于每一列，公差为 $2n$，设每一列第一个数为 $x$，第 $k$ 项就为 $x+(k-1)\times 2n$ 其中 $1\le k\le n$，那么这一列的和就是 $\frac{[x+x+(n-1)\times 2n]\times n}{2}$，平均数是 $\frac{x+x+(n-1)\times 2n}{2}=x+n(n-1)=x+\frac{n-1}{2}\times 2n$。
• 因为 $n$ 是偶数，所以 $\frac{n-1}{2}$ 不是整数，但是 $\frac{n}{2}$ 是，所以考虑将每列的最后一项加上 $n^2$，等价于将每一项加上 $n$，平均数也加上 $n$，变为 $x+\frac{n}{2}\times 2n$，其中 $1\le \frac{n}{2}\le n$。
  证毕。

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AC Code

#include<bits/stdc++.h>
#define arrout(a,n) rep(i,1,n)std::cout<<a[i]<<" "
#define arrin(a,n) rep(i,1,n)std::cin>>a[i]
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define dep(i,x,n) for(int i=x;i>=n;i--)
#define erg(i,x) for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
#define dbg(x) std::cout<<#x<<":"<<x<<" "
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define arrall(a,n) a+1,a+1+n
#define PII std::pair<int,int>
#define m_p std::make_pair
#define u_b upper_bound
#define l_b lower_bound
#define p_b push_back
#define CD const double
#define CI const int
#define int long long
#define il inline
#define ss second
#define ff first
#define itn int
CI N=105;
int n,a[N][N];
signed main() {std::cin>>n;if(n==2) {puts("-1");exit(0);}int k=0;rep(i,1,n) {rep(j,1,n) {a[i][j]=++k;}}if(n&1) {rep(i,1,n) {rep(j,1,n) {std::cout<<a[i][j]<<" ";}puts("");}} else {rep(i,1,n) {rep(j,1,n) {a[i][j]*=2;}}rep(i,1,n) {a[i][n/2]++;a[i][n/2-1]--;}rep(i,1,n) {a[n][i]+=n*n;}rep(i,1,n) {rep(j,1,n) {std::cout<<a[i][j]<<" ";}puts("");}}return 0;
}