小红的循环小数

众所周知，所有的无限循环小数都可以写成分数的形式
小红想让你判断循环节长度为k的无限循环小数的分母是否可能是p。你能帮帮她吗？
共有q次询问。

输入描述
第一行输入一个正整数$q$，代表询问次数。
接下来的$q$行，每行输入两个正整数k,p，代表一次询问。
$1\le q\le 10^5$
$1\le k,p\le 10^9$
输出描述
输出$q$行，如果存在一个分子$q$，满足$q/p$为循环节长度为k的无限循环小数，则输出"Yes"。否则输出"No"。
输入示例1

5
1 6
2 4
3 37
100000 3
2 37

输出示例1

Yes
No
Yes
Yes
No

说明
第一组询问，1/6=0.166666……，循环节长度为 1。
第二组询问，显然分母为 4 的小数均为有限小数。
第三组询问，8/37=0.216216216216……，循环节长度为 3。
第四组询问，1/3=0.3333……，显然长度 100000 也是它的循环节长度

💖 思路

👨‍🏫 参考地址

② 单位分数 1/m，若分母 m 都为 $10^n-1$，则化成小数后的结果如下

$\frac{1}{9}=0.1111111\dots \dots$

$\frac{1}{99}=0.010101\dots \dots$

$\frac{1}{999}=0.001001001\dots \dots$

这种小数叫做单位无限循环小数
$0.251251251\dots \dots =251\times 0.001001001\dots \dots =251\times \frac{1}{999}$

其中右边分数的分母 $999=10^3-1$，即循环节 = 3 = 10的指数

言归正传：题目求是否存在一个分子 x ，在分母为 p 的情况下，结果为无限循环小数 z 的循环节长度为 k，，假设现在的循环节为 a。

即有 $$z=a\times \frac{1}{10^k-1}=\frac{x}{p}$$

Tips：分子 x 可以为任意数

即$$\frac{a}{10^k-1}=\frac{a\times \frac{x}{a}}{p}$$

Tips：即 $\frac{x}{a}$也可以是任意数($a\ne 0$)

换而言之$$\frac{x}{a}=\frac{p}{10^k-1}$$

③ 上结论：分母 p 转化为 $10^k-1$ 的形式

• p 的质因数中不含 2 或 5 以外的质数 ：有限小数
• p 的质因数中不含 2 或 5 两种：则必有一个 $p^n=10^k-1$
• 质因数中既有2或5，又有其它质因数，可通分为$(10^n-1)\times 10^m$，此时可转化为无限循环小数，再移动m位小数点（通常称为“混循环”）

💖 解题步骤

• 分母的质因数只含 2 或 5：有限小数
• 否则：
  • $10^k-1$ % p == 0，存在分子 x 可以通分成 a
  • else 不存在

💖 AC code

import java.util.*;class Main
{public static void main(String[] args){Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();for (int i = 0; i < n; i++){System.out.println(result(sc.nextInt(), sc.nextInt()) ? "Yes" : "No");}}public static boolean result(int k, int p){while (p % 2 == 0)//消去质因子 2p /= 2;while (p % 5 == 0)//消去质因子 5p /= 5;if (p == 1)return false;return (qpow(10, k, p) - 1) % p == 0;}//	快速幂private static long qpow(int x, int k, int mod){long ans = 1;while (k != 0){if ((k & 1) != 0)ans = ans * x % mod;k >>= 1;x = x * x % mod;}return ans;}
}